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摘要：本文從高中數(shù)學課程標準“復數(shù)”內(nèi)容的變革和高觀點教學等角度分析了《復變函數(shù)》對中學數(shù)學教學的重要意義，希望能讓師范生重視《復變函數(shù)》的學習．

關鍵詞：復變函數(shù)；中學數(shù)學教學；高觀點

《復變函數(shù)》是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學生在大學階段的必修課程，但由于師范生畢業(yè)后主要從事中學教學工作，中學數(shù)學教學中有關復數(shù)的知識點只在高中數(shù)學中出現(xiàn)，且相較于整個高中數(shù)學學習內(nèi)容來說占比很小，高考試題中要求直接運用復數(shù)這一知識點求解的題型一般以選擇或填空題出現(xiàn)，所占卷面分值不高．所以在當今應試教育的背景下，大學生很容易產(chǎn)生學習《復變函數(shù)》的思想誤區(qū)，覺得學習《復變函數(shù)》對中學教學用處不大，從而不重視這門課程的學習．隨著師范類專業(yè)認證的改革，師范生都需要通過教師資格證考試來獲得教學資格．而中學數(shù)學教師資格證考試涉及的大學數(shù)學知識主要是數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何和概率論與數(shù)理統(tǒng)計，這就使得數(shù)學專業(yè)師范生更加不重視《復變函數(shù)》的學習．事實上，《復變函數(shù)》對中學教學有著重要的指導意義．下面，我們將從多方面對此加以分析．

１復數(shù)內(nèi)容在普通高中數(shù)學課程標準中的變革凸顯了該課程的重要性

我們先比較２００３版《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》和《普通高中數(shù)學課程標準（２０１７版）》，具體見表１．由表１可知，從模塊放置角度來看，復數(shù)由２００３版的選修模塊放到了２０１７版的必修模塊“幾何與代數(shù)”；從教學內(nèi)容與要求來看，《普通高中數(shù)學課程標準（２０１７版）》增加了復數(shù)的三角表示這一引申內(nèi)容；從教學建議角度來看，２０１７版課程標準更注重對復數(shù)的表示及幾何意義的理解，對學有余力的學生可增加引申內(nèi)容“復數(shù)的三角表示”．此外，２０１７版課程標準必修模塊“幾何與代數(shù)”包括平面向量及其應用、復數(shù)、立體幾何初步三部分內(nèi)容［１］．首先，通過對向量的學習，學生可理解平面向量的幾何意義和代數(shù)意義，掌握平面向量的概念與運算，從而借助向量建立起幾何與代數(shù)的橋梁；其次，由于復數(shù)與復平面上的點一一對應，可把復數(shù)視為二維向量，復數(shù)的加減就對應向量的加減，復數(shù)內(nèi)容放置在平面向量之后，既能幫助高中生進一步鞏固向量知識，還能讓他們深刻理解兩者之間的關系，牢固代數(shù)與幾何的橋梁；最后，在平面向量與復數(shù)的基礎上擴充立體幾何，注入更復雜的幾何運算，進一步拓寬幾何與代數(shù)的橋梁．因此，普通高中數(shù)學課程標準這一綱領性教學文件的變革充分體現(xiàn)了高中數(shù)學學習中復數(shù)內(nèi)容的重要性．

２《復變函數(shù)》為職前中學教師的高觀點教學打下良好的基礎

復數(shù)是銜接中學數(shù)學與大學《復變函數(shù)》的重要內(nèi)容，在沒有學習這門課程前，數(shù)學專業(yè)師范生對于復數(shù)領域的了解程度非常淺，學習本課程后不僅會更深刻理解復數(shù)內(nèi)容，更能拓寬自身對《復變函數(shù)》的認知視野，從而重視對中學生學習復數(shù)的引導，設計更有效的教學．（１）學習《復變函數(shù)》，數(shù)學專業(yè)師范生可了解《復變函數(shù)》的初步發(fā)展歷史與前沿，理解其中蘊含的數(shù)學文化價值．瑞士數(shù)學家歐拉首次采用虛數(shù)單位ｉ＝－１，打破了負數(shù)沒有平方根的認知．復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的又一次擴充，數(shù)系擴充的過程體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求［２］，它解決了實際問題在實數(shù)范圍內(nèi)無法滿足的需求．《復變函數(shù)》是《數(shù)學分析》的后繼課程，是實分析理論在復數(shù)域上的拓展，因此，《復變函數(shù)》的講授經(jīng)常結(jié)合數(shù)學分析知識進行類比，幫助學生順利過渡到對復分析理論的發(fā)展歷程的理解，體會人類理性思維在數(shù)學理論拓展中的作用．（２）學習《復變函數(shù)》，數(shù)學專業(yè)師范生可系統(tǒng)掌握《復變函數(shù)》的基本理論與思想方法．數(shù)學專業(yè)《復變函數(shù)》課程一般講授復數(shù)理論、解析函數(shù)、復積分、復級數(shù)理論、留數(shù)理論等，參見［３］．《復變函數(shù)》的開篇一般是復數(shù)理論，復數(shù)可以看作為向量，復數(shù)的加減對應向量的加減，復數(shù)的模與輻角對應向量的長度與方向；復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示建立在復數(shù)的幾何意義基礎上，兩個復數(shù)相乘ｚ１ｚ２相當于把復數(shù)ｚ１這個向量伸縮ｚ２倍，然后再旋轉(zhuǎn)一個角度（ｚ２的輻角）；一個復數(shù)ｚ＝ｒｅｉθ開ｎｎ（≥２）方共有ｎ個根，它們均勻地分布在以原點為圓心半徑為ｎｒ的圓周上，是內(nèi)接于該圓周的正ｎ邊形的ｎ個頂點．復平面上點的標準鄰域?qū)粋€圓盤．學習解析函數(shù)以及多值解析函數(shù)都必須借助圖形加以理解．復積分的值一般不僅依賴積分曲線的起點與終點，還與積分路徑有關，而柯西積分定理揭示了復積分與路徑無關，它取決于被積函數(shù)的解析性和解析區(qū)域的單連通性．柯西積分公式告訴我們：用積分曲線上的值可以表示解析函數(shù)在積分曲線所圍區(qū)域的內(nèi)部值．解析函數(shù)的唯一性定理說明：一個函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的局部取值可確定它在該區(qū)域內(nèi)的整體的值．Ｐｉｃａｒｄ定理描繪了解析函數(shù)在本質(zhì)奇點領域內(nèi)的特性．Ｒｏｕｃｈé定理考察零點的分布情況．由上可知，不管是從教材的編寫還是講授來看，幾何思想貫穿整個復變函數(shù)內(nèi)容，充分體現(xiàn)了《復變函數(shù)》是分析的幾何化［４］，學習復變函數(shù)理論能讓學生進一步領會代數(shù)與幾何結(jié)合的神奇之處．（３）學習《復變函數(shù)》，數(shù)學專業(yè)師范生可優(yōu)化教學設計，為中學數(shù)學解題提供新方法．復變函數(shù)為中學數(shù)學解題提供了很多新思路和新方法，中學數(shù)學習題里不等式的證明、求函數(shù)的最值問題、平面幾何證明等各類題型都能夠運用復變函數(shù)知識來解決，該方面的具體研究成果見［５］．這里我們以三角函數(shù)恒等式的證明為例進行具體分析，在中學課堂上，教師先教授向量法證明兩角差余弦公式，再以此公式為基礎導出其它三角函數(shù)公式，而我們學習了復數(shù)的三角表示后，可以補充歐拉公式ｅｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ，再利用此外，利用歐拉公式比較容易推導關于三倍角、五倍角等的三角函數(shù)公式，這里以三倍角的三角函數(shù)公式為例展開推演：

3結(jié)語

總而言之，數(shù)學專業(yè)師范生學好《復變函數(shù)》既可深入理解中學復數(shù)內(nèi)容，又可在進入中學教學后從更高角度講授好中學復數(shù)內(nèi)容.希望各位數(shù)學專業(yè)師范生能重視本課程的學習，創(chuàng)新教學思維.

參考文獻

［１］中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準［Ｍ］．２０１７版．北京：人民教育出版社，２０１７．

［２］中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３．

［３］鐘玉泉．復變函數(shù)論［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２００４．

［４］潘麗云．維爾斯特拉斯的復變函數(shù)思想分析［Ｄ］．西安：西北大學，２００９．

［５］林炎生．復數(shù)在中學數(shù)學解題中的應用例舉［Ｊ］．中學課程輔導：教學研究，２０１４，（２５）：１５３－１５４．

作者:李瀏蘭 方敏 劉剛 單位:衡陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院