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上海交通大學(xué)自主招生范文第1篇

熟面孔穩(wěn)坐江山

通過對清華、北大、復(fù)旦、中科大、上海交大等高校近幾年自主招生數(shù)學(xué)試題的研究，我們發(fā)現(xiàn)，大部分試題還是比較基礎(chǔ)的，大約有60%到80%的試題和近年高考數(shù)學(xué)卷中的基礎(chǔ)題難度相當(dāng). 我們可以看一看2009年上海交通大學(xué)自主招生考試的第8題：

設(shè)｛an｝是公差d≠0的等差數(shù)列，從中選出部分項(xiàng)以原次序可組成等比數(shù)列ak1，ak2，…，akm，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，則k1+k2+…+km=．

這種程度的問題，相信數(shù)學(xué)成績中等的同學(xué)都能解決．

就考查內(nèi)容而言，近幾年新課程高考中的大部分內(nèi)容，如函數(shù)、集合、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角、排列、組合、概率統(tǒng)計(jì)、向量、立體幾何和解析幾何等，同樣也是大學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)部分的主力軍．

新面孔粉墨登場

高校自主招生試題幾乎都是由大學(xué)老師命制的，大學(xué)老師在更多時(shí)候會考慮到高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接，試卷也難免會體現(xiàn)他們的習(xí)慣和喜好．

自主招生考試中的“新面孔”主要有兩類．

一類是在高中課堂上接觸得比較少的知識. 比如在高考浙江卷中，復(fù)數(shù)的三角形式、復(fù)數(shù)數(shù)列、開集、矩陣和行列式等內(nèi)容都是不作要求的，但由于這些知識與高等數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性較大，所以在近幾年的自主招生考試中頻頻現(xiàn)身． 如2007年清華大學(xué)自主招生考試的第6題：

對于集合M?哿R2，稱M為開集，當(dāng)且僅當(dāng)?坌P0∈M，?堝r＞0，使得｛P∈R2 ｜PP0

“開集”是高等數(shù)學(xué)中非常重要的概念，但對高中生來講，這樣的題目就比較陌生了．

另一類就是我們常說的創(chuàng)新題. 如2009年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試的第123題：

用同樣大小的一種正多邊形平鋪整個(gè)平面（沒有重疊），有幾種正多邊形可以鋪滿整個(gè)平面而不留空隙？

（A） 2種 （B） 3種 （C） 4種 （D） 5種

這個(gè)題目既和我們的生活密切相關(guān)，又需要用數(shù)學(xué)知識加以解決，對同學(xué)們來講，確實(shí)是張“新面孔”．

競賽題時(shí)隱時(shí)現(xiàn)

除了考查新知識和實(shí)際應(yīng)用的能力，還有一些試題對數(shù)學(xué)思想方法和思維策略要求較高，有些題目的難度與數(shù)學(xué)競賽題不相上下． 2008年北京大學(xué)自主招生考試的第2題就是一個(gè)例子：

已知在六邊形AC1BA1CB1中，AC1＝AB1，BC1＝BA1，CA1＝CB1，∠A+∠B+∠C＝∠A1+∠B1+∠C1.求證：ABC的面積是六邊形AC1BA1CB1的一半．

對于沒有參加過競賽輔導(dǎo)的同學(xué)來說，這道平面幾何題還是有一定難度的．

上海交通大學(xué)自主招生范文第2篇

這兩天，北京大學(xué)老化學(xué)樓121號北大招生辦本部的電話，幾乎被打爆。

所有的人都在詢問一件事：北京大學(xué)剛剛對外公布的“2010年中學(xué)校長實(shí)名推薦制”。

與以往的大學(xué)自主招生辦法不同，“校長實(shí)名推薦”，第一，中學(xué)和校長的資格需要北大認(rèn)證；第二，被推薦學(xué)生通過北大審核后，無需筆試直接面試。

面試通過者，可以在高考錄取時(shí)享受北京大學(xué)一批次錄取線下降30分錄取的政策。而其中具備教育部規(guī)定的保送資格的學(xué)生，可以向北京大學(xué)申請相關(guān)專業(yè)的保送資格。

這種類似于很多西方大學(xué)“校長推薦制”的錄取形式，向許多做著“北大夢”的中學(xué)生敞開了一條“綠色通道”。當(dāng)然，這條通道并非“一視同仁”。

在“校長實(shí)名推薦”的資質(zhì)申請審核環(huán)節(jié)中，北京大學(xué)招生辦共收到了來自全國400余所中學(xué)的申請，經(jīng)過北大自主招生專家委員會審議后，最終確定了13個(gè)省39所中學(xué)的校長入圍。

“校長實(shí)名推薦”是否公平公正?會不會引發(fā)另一種教育腐敗?入圍的39所學(xué)校是如何確定的?……各種質(zhì)疑接踵而至。

北大校機(jī)關(guān)的一位老師向本刊記者透露，北大如此迅速地出臺“校長實(shí)名推薦”，絕不僅僅是對自主招生政策進(jìn)行新探索這么簡單。

生源爭奪是真正用意

就在北大推出“校長實(shí)名推薦”前不久，清華大學(xué)、上海交通大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)、西安交通大學(xué)、南京大學(xué)五所著名高校招生部門剛剛決定，在2010年實(shí)行“五校聯(lián)考”。通用測試部分由這5所大學(xué)共同出題，高校特色測試和面試由各校自主決定，通過者，高考錄取中享受該校30分的優(yōu)惠。

“這五所學(xué)校都是國家首批‘985高?！??！鼻迦A大學(xué)招生辦公室副主任尹佳說。

“這一輪考試?yán)?，每個(gè)學(xué)生可以選擇兩所學(xué)校。我們在29個(gè)省市都設(shè)了考點(diǎn)，學(xué)生也不用奔波?！币颜J(rèn)為，這跟以往清華大學(xué)實(shí)行的自主招生政策沒有本質(zhì)的不同。

“這是給學(xué)生們多次選擇的機(jī)會。即使學(xué)生參加了考試，沒有被他申請的這兩所學(xué)校錄取，他拿著這個(gè)考試的成績?nèi)フ移渌麑W(xué)校，應(yīng)該也是有幫助的?！币呀忉屨f，“而且，我們一般不強(qiáng)調(diào)‘五?！??！?/p>

然而，北大很多人對于“五校聯(lián)考”的看法，和尹佳所說的大不相同。

“‘五校聯(lián)考’打破了各高校自主招生政策原有的平衡，類似于一個(gè)‘小高考’，北大明年的生源有可能因此受到影響?！北贝蟮囊晃焕蠋熣f。

他說，對于自主招生的探索是教委提出來的，但是各高校采取什么具體辦法，一般不用通過教委批準(zhǔn)?！跋癖贝?、清華、復(fù)旦等高校，生源爭奪由來已久，為了減少‘五校聯(lián)考’可能對北大造成的生源影響，北大也馬上公布了‘校長實(shí)名推薦制’?！?/p>

“北大想探索新的自主招生辦法，而校長推薦是一種國際潮流，但是北大在這個(gè)時(shí)候如此迅速地推出‘校長實(shí)名推薦’，應(yīng)該說跟‘五校聯(lián)考’有直接關(guān)系?！边@位老師說。

從北大招生網(wǎng)上的信息可以看到，今年兒月21日至25日，獲推薦的學(xué)生要在北大招生網(wǎng)填寫報(bào)名表，經(jīng)中學(xué)校長實(shí)名簽字蓋章同意后提交申請材料。11月26日至27日，北大將安排相關(guān)學(xué)科的專家組審核學(xué)生資料。

也就是說，今年年底之前，誰能夠獲得被批準(zhǔn)合格進(jìn)而進(jìn)入面試階段，應(yīng)該會水落石出。

雖然尹佳強(qiáng)調(diào)說，教委規(guī)定，自主招生的考試時(shí)間必須在寒假之后，但是北大校機(jī)關(guān)的這位老師也透露，“一般如果是校長推薦了的，因?yàn)闆]有筆試，面試的通過率應(yīng)該是很高的。”

也就是說，獲得北大認(rèn)可的推薦名單，在年底前應(yīng)該就可確定，這比“五校聯(lián)考”早了一個(gè)多月。

如何確保公正

對于校長實(shí)名推薦，大家的質(zhì)疑聲之一，就是通過北大認(rèn)證的這39所學(xué)校是如何確定的，對于沒有推薦資格的其他中學(xué)，公平性何在。

從已經(jīng)公布的39所學(xué)校的名單來看，僅江蘇一省就有10所中學(xué)入圍，北京、湖北、湖南、浙江各有三四所學(xué)校獲選。

據(jù)稱，這個(gè)名單是北大參考了每年在各地中學(xué)錄取學(xué)生的情況確定的。而且現(xiàn)有的方法只是試行，肯定還有很多需要改進(jìn)的地方。

而大家熱議的另一個(gè)問題，就是校長推薦的公正性。

上海交通大學(xué)自主招生范文第3篇

自主招生已經(jīng)實(shí)行好幾年了。為了選拔更多的優(yōu)秀人才，各招生院校，主要是一些名校，從每年計(jì)劃的招生人數(shù)中預(yù)留出5%至10%的名額，按照自己的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行考查和選拔。在高考前，高校會先對考生進(jìn)行測試。如果考生表現(xiàn)優(yōu)秀，那么在高考錄取時(shí)就可以享受一定的加分優(yōu)惠政策。

時(shí)至今日，招生院校已經(jīng)形成了“華約”“北約”“卓越”等考試聯(lián)盟?！叭A約”的成員為清華大學(xué)、中國人民大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)等7所高校，“北約”的成員有北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、南開大學(xué)、香港大學(xué)、廈門大學(xué)等13所高校，“卓越”的成員則為北京理工大學(xué)、同濟(jì)大學(xué)、東南大學(xué)、哈爾濱工業(yè)大學(xué)、華南理工大學(xué)等9所高校。

看到這里，相信你一定會問：我該如何參加自主招生考試呢？別著急，下面就是具體步驟。

推薦：每一場推薦背后，都站著一群努力的身影

應(yīng)屆畢業(yè)生要參加自主招生考試，一般有兩條途徑：一是通過學(xué)校推薦，二是通過本人自薦。

先來說學(xué)校推薦。各招生院校會把一部分自主招生考試的名額直接分配給中學(xué)，由中學(xué)推薦學(xué)生參加考試。不同的中學(xué)有不同的推薦原則，但具體的指標(biāo)無非就是高中的文化課成績、工作能力、獲得的各種榮譽(yù)、學(xué)科競賽（如全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽等）的成績、某一方面的特長等。一般來說，一位同學(xué)只會被推薦參加一個(gè)聯(lián)盟的考試。

如果是本人自薦，那你一定要準(zhǔn)備好足夠的材料：自薦信、有聲望的老師的推薦信、成績證明、高中期間的各類榮譽(yù)證書、特殊才能證明等，并向心儀的大學(xué)進(jìn)行自薦報(bào)名。招生院校接受報(bào)名后，會審查確定是否允許你參加筆試。

雖然學(xué)校推薦的方式只能讓你參加一個(gè)聯(lián)盟的考試，但由于不同聯(lián)盟的考試時(shí)間各不相同，因此，從理論上講，只要你有足夠的精力，就可以通過自薦參加其他聯(lián)盟的考試。

近兩年，通過學(xué)校推薦和學(xué)生自薦，我們嘉興市第一中學(xué)每年約有12%的學(xué)生能夠參加各類高校的自主招生考試。

筆試：拼腦力更拼體力

在每年元旦前后，實(shí)行自主招生的高校會舉行一次筆試。

不同考試聯(lián)盟的試題各不相同，即使參加同一聯(lián)考，不同的考生考試的科目也不同。理科生主要考語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)，文科生主要考語文、數(shù)學(xué)、英語、歷史和政治，還有些工科院校只要求考生參加3至4門科目的考試。

一般來說，筆試的時(shí)間限制在一天之內(nèi)，根據(jù)考生需考的科目的不同而變化，最大時(shí)長達(dá)12小時(shí)，最短的也要一個(gè)上午，中間幾乎沒有休息時(shí)間，真是既考驗(yàn)?zāi)X力又考驗(yàn)體力。

復(fù)旦大學(xué)自主招生考試的形式比較特別，在江浙滬地區(qū)，復(fù)旦用“千分考”來代替聯(lián)考?！扒Х挚肌鄙婕案咧袑W(xué)習(xí)的所有科目，顧名思義，滿分為1000分，考試時(shí)長為3個(gè)小時(shí)，全卷共有200個(gè)選擇題，做對1題得5分，不做不得分，做錯(cuò)1題倒扣2分。

每參加一個(gè)聯(lián)盟的考試，你可以選擇兩到三所學(xué)校作為你的志愿學(xué)校。 不過你所填報(bào)的第一志愿學(xué)校給你提供加分優(yōu)惠政策的可能性最大。

面試：理性、博聞、應(yīng)變，一個(gè)都不能少

招生院校會根據(jù)筆試成績確定面試名單，一般在寒假期間安排面試。

面試的形式各有特色。如北京大學(xué)采用的是“無領(lǐng)導(dǎo)小組討論”方式：在5分鐘內(nèi)，你要先進(jìn)行1分鐘的自我介紹，然后回答自己抽到的問題，答完后，小組的其他成員還可以補(bǔ)充。清華大學(xué)的面試分為“群體面試”“單獨(dú)面試”“附加面試”“專業(yè)面試”四種類型，根據(jù)不同的報(bào)考意向，考生會參加不同類型的面試。

面試的問題五花八門，歸納起來，大致有以下幾種。

一類是與你本人相關(guān)的問題，如“為什么報(bào)考我?！薄澳銓ψ约旱娜松惺裁匆?guī)劃”等，你只要如實(shí)回答就可以了。

其次是涉及各種知識與常識、考查思維的問題。我們舉一些例子來說明。

（生活類） 2011年復(fù)旦自主招生面試第25題：雞可以用來做哪些菜？

（英語類） 2011年復(fù)旦自主招生面試第29題：番茄醬如何翻譯成英語？

（文化類） 2011年北大自主招生面試第3題：哈佛大學(xué)圖書館墻上寫著這樣一句話：“請享受無法回避的痛苦”，談?wù)勀愕睦斫狻?/p>

（歷史類） 2011年北大自主招生面試第14題：今年是100周年，海峽兩岸將共同舉行隆重慶典。你認(rèn)為大陸和臺灣看待的角度和意義會有什么不同？

（物理類） 2011年復(fù)旦自主招生面試第23題：一群小學(xué)生在分比薩吃。一個(gè)小學(xué)生說：“比薩能夠下肚，是重力的原因?！绷硗庖粋€(gè)說：“比薩之所以能夠被吃下去，是因?yàn)槲改c道的蠕動。” 你如何解釋呢？

（數(shù)學(xué)類） 2011年清華自主招生面試第11題：為什么三角形的面積等于底乘高除以2？

這些問題不僅考查你的視野，還考查你的臨場應(yīng)變能力、創(chuàng)新能力以及思維的條理性和全面性。在回答時(shí)，要避免偏激和情緒宣泄，既不要“憤青”也不要過于保守，盡量用辯證理性的態(tài)度來看待問題。要反應(yīng)迅速，盡可能把問題與你平時(shí)所學(xué)的知識聯(lián)系起來，還應(yīng)保持條理清晰，可使用分類討論和分層遞進(jìn)的表述方法。

公布結(jié)果：我到底能加幾分

在1月底或2月初，高校會公布自主招生考試的最終結(jié)果。勝出的同學(xué)可以享受高校提供的不同優(yōu)惠政策。

以北大為例，2011年浙江省參加北大自主招生文化課考試的300名左右的學(xué)生中，大約有三分之一進(jìn)入了面試。經(jīng)過面試，對成績位于前5%的學(xué)生，北大提供在高考成績的基礎(chǔ)上加30分錄取的優(yōu)惠政策，后5%的學(xué)生只能享受加5分的優(yōu)惠，成績位于中間的學(xué)生則可以享受加20分的優(yōu)惠。

假設(shè)2011年北大在浙江省的投檔線是700分，A考了680分，B考了710分，兩人可同時(shí)享受30分的優(yōu)惠，那么A的總分就是710分，B的總分就是740分，都過了北大的投檔線。但由于A的實(shí)際考分沒有達(dá)到北大的投檔線，所以在錄取時(shí)必須服從專業(yè)分配；B的實(shí)際考分達(dá)到了北大的投檔線，但在選擇專業(yè)時(shí)只能享受在實(shí)際考分的基礎(chǔ)上加10分的優(yōu)惠政策，也就是說，B可以以720分的成績在北大選擇專業(yè)。

2011年復(fù)旦大學(xué)的自主招生政策更誘人，如果考生在自主招生考試中勝出，只要高考成績達(dá)到浙江省的一本線，就可以被復(fù)旦大學(xué)直接錄取。

不過，高校的自主招生政策一直在變化，所以說到具體的招生細(xì)則，還需要參考各校每年出臺的招生方案。

上海交通大學(xué)自主招生范文第4篇

浙江省數(shù)學(xué)特級教師，嘉興市數(shù)學(xué)會副會長.

推薦名言

最有價(jià)值的知識是關(guān)于方法的知識．

――勒內(nèi)?笛卡爾 （法國數(shù)學(xué)家，創(chuàng)立了解析幾何，引入了坐標(biāo)系及線段的運(yùn)算概念，被稱為“解析幾何之父”）

作為自主招生考試的必考內(nèi)容之一，解析幾何重點(diǎn)考查三類問題：一是直線、圓、圓錐曲線中的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，二是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，三是二次曲線與二次曲線的位置關(guān)系問題.這三類問題?？汲Ｐ拢?/p>

解析幾何體現(xiàn)了典型的數(shù)形結(jié)合思想.在解析幾何題中，計(jì)算占了很大的比重，對運(yùn)算能力要求很高.曲線的定義和性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，同學(xué)們應(yīng)根據(jù)題意，充分利用曲線的性質(zhì)簡化計(jì)算. 此外，解析幾何題還考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般的思想等數(shù)學(xué)思想方法．

一、方程與幾何性質(zhì)問題

例1 （2011年“北約”自主招生考試第2題） 求過拋物線y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3兩交點(diǎn)的直線方程．

解析： 將方程y=2x2-2x-1的兩邊同乘以，得y=5x2-5x-（①），①式與方程y=

-5x2+2x+3相加可得y=-3x+，整理得6x+7y-1=0． 若（a，b）是兩拋物線的交點(diǎn)，則（a，b）必滿足方程6x+7y-1=0， 6x+7y-1=0即為所求直線方程．

點(diǎn)評： 一般來說，同學(xué)們會直接聯(lián)立方程，求出兩拋物線的交點(diǎn)，再求出直線方程．這種方法比較尋常，但運(yùn)算比較復(fù)雜. 上述解法可以大大減少運(yùn)算量，方便地求出目標(biāo)方程. 但運(yùn)用這種方法的前提是判斷拋物線確有兩個(gè)交點(diǎn)．

例2 （2011年“華約”自主招生考試第14題） 已知雙曲線-=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝，SFPF＝3a2. （1）求離心率；（2）若點(diǎn) A為雙曲線左頂點(diǎn)，Q為右支上任一點(diǎn)，問是否存在常數(shù)λ，使∠QAF2＝λ?∠QF2A恒成立？

解析： （1） 我們可以在F1PF2中考慮問題，尋找PF1?PF2與SFPF的關(guān)系． F1F22=PF12+PF22-2PF1?PF2cos=（PF1-PF2）2+2PF1?PF2-2PF1?PF2cos，即（2c）2=（2a）2+PF1?PF2，PF1?PF2＝4c2-4a2=4b2， SFPF=PF1?PF2sin=b2=3a2，即b2=3a2， e=2．

（2） 由（1）得，雙曲線方程可表示為-=1.此時(shí)F2（2a，0），A（-a，0）． 如圖1所示，設(shè)Q（x1，y1）且存在符合題意的常數(shù)λ（λ＞0）．

當(dāng)QF2x軸時(shí)，將點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x1=2a代入雙曲線方程，解得QF2=y1＝3a. 又AF2=3a， QF2A是等腰直角三角形，∠QAF2＝，∠QF2A＝，此時(shí)λ＝．

當(dāng)點(diǎn)Q為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)，∠QAF2＝∠QF2A＝0，∠QAF2＝∠QF2A也成立．

下面證明當(dāng)QF2不垂直于x軸且Q不為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)，∠QAF2＝∠QF2A也成立．

設(shè)點(diǎn)Q在第四象限. 點(diǎn)Q在雙曲線的右支上，直線QA的斜率kQA存在且kQA=. QF2不垂直于x軸， 直線QF2的斜率kQF存在且kQF＝.

tan2∠QAF2＝＝＝（①）． -＝1， ＝3（-a2）=3（x1+a）（x1-a），代入①式可得 tan2∠QAF2=.又tan∠QF2A=kQF=， tan2∠QAF2＝tan∠QF2A． 當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)，同理可得tan2∠QAF2＝tan∠QF2A.

當(dāng)Q無限趨近于右頂點(diǎn)時(shí)，∠QAF2與∠QF2A無限趨近于0．當(dāng)QF2垂直于x軸時(shí)，已證得∠QAF2＝，∠QF2A＝． 由于雙曲線的漸近線方程為y=±x，即兩條漸近線的傾斜角分別為，，要使AQ始終與雙曲線的右支交于點(diǎn)Q，必有∠QAF2始終小于，∠QF2A始終小于，由此可得∠QAF2∈0，∪，，∠QF2A∈0，∪，， ∠QF2A∈0，∪，，∠QAF2＝∠QF2A成立．

綜上可得，存在常數(shù)λ＝使∠QAF2＝∠QF2A恒成立．

點(diǎn)評： 例2的解題過程中運(yùn)用了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想．

例3 （2009年南京大學(xué)自主招生考試第13題） 在x軸上方作與x軸相切的圓，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為. 過B（-3，0），C（3，0）分別作圓的切線，兩切線交于點(diǎn)P. Q是C在銳角∠BPC角平分線上的射影. （1） 求點(diǎn)P的軌跡方程及其橫坐標(biāo)的取值范圍；（2） 求點(diǎn)Q的軌跡方程．

解析： （1） 如圖2所示，設(shè)x軸與圓的切點(diǎn)為D， PB,PC切圓于點(diǎn)E，F(xiàn). PE＝PF，BE＝BD，CD＝CF，PB-PC＝BD-CD＝（+3）-（3-）＝2． B，C是定點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線-=1的右上支，其中a=，c==3， b2=6，點(diǎn)P的軌跡方程為-＝1（x>0，y>0）. 該雙曲線右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），恰好為圓與x軸的切點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（，+∞）．

（2） 延長CQ交PB于M． PQ是∠CPM的角平分線，又由題意知CQPQ，即CMPQ， CPM是以CM為底邊的等腰三角形，PM＝PC， PB-PC=PB-PM=BM. PB-PC=2， BM=2． 聯(lián)結(jié)OQ， O為BC中點(diǎn)，Q為CM中點(diǎn)， OQ為MBC的中位線，OQ=BM=. O（0，0）， 點(diǎn)Q的軌跡方程為x2+y2=3，其中x∈（0，），y∈（0，）．

點(diǎn)評：上述解法結(jié)合圖形特征，充分利用幾何性質(zhì)解決問題，真正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．

二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，歸根結(jié)底是聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程所得的方程組的問題．在解決這類問題時(shí)，要注意運(yùn)用直線與圓錐曲線位置關(guān)系的相關(guān)公式與方法，如“弦長公式”“設(shè)而不求”“點(diǎn)差法”等.

例4 （2006年上海交通大學(xué)自主招生考試第12題） 橢圓+y2=1（a>0），一頂點(diǎn)A（0，1），問是否存在以A為直角頂點(diǎn)且內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個(gè)；若不存在，請說明理由．

解析： 如圖3所示，設(shè)直角三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B，C. 由題意可知AB的斜率存在. 設(shè)AB的方程為y=kx+1（k>0），代入+y2=1，得+k2x2+2kx=0，解得xB=-． 由弦長公式得AB＝?． 由ABAC可得AC的斜率為-，同理可得AC=?． AB＝AC，k>0， 化簡可得k3-a2k2+a2k-1=0，即（k-1）［k2+（1-a2）?k+1］=0 （①）， 解得k=1或k2+（1-a2）k+1=0. 下面我們討論方程k2+（1-a2）k+1=0 （a>0）的解的個(gè)數(shù)．

當(dāng)Δ＞0即a>時(shí)，方程k2+（1-a2）k+1=0顯然有兩個(gè)不等于1且大于0的實(shí)數(shù)根，所以①式共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即滿足條件的三角形有3個(gè)；

當(dāng)Δ=0即a=時(shí)，方程k2+（1-a2）k+1=0的解為k=1，所以①式只有1個(gè)實(shí)數(shù)解，即滿足條件的三角形有1個(gè)；

當(dāng)Δ

綜上可得，當(dāng)a>時(shí)，滿足條件的等腰直角三角形有3個(gè)；當(dāng)0＜a≤時(shí)，滿足條件的等腰直角三角形有1個(gè)．

點(diǎn)評：在例4中，等腰直角三角形的個(gè)數(shù)就是直線AB的斜率k的解的個(gè)數(shù)，因此討論（k+1）［k2+（1-a2）k+1］=0的解的個(gè)數(shù)就可得到答案．另外，由于AB，AC 的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以只要將AB＝?中的k換成-就能得到AC．在解答解析幾何問題時(shí)，要注意運(yùn)用類似的運(yùn)算技巧．

例5 （2010年“華約”自主招生考試第12題） A，B，C，D在拋物線x2=4y上，A，D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．過點(diǎn)D作拋物線的切線， BC平行于切線，點(diǎn)D到AB，AC的距離分別為d1，d2，d1+d2＝AD． （1） 試問：ABC是銳角、鈍角還是直角三角形？（2） 若ABC的面積為240，求點(diǎn)A的坐標(biāo)和BC的方程．

解析： （1）如圖4所示，由題意可知AD平行于x軸，設(shè)Dx0，，則A-x0，． 設(shè)Cx1，，Bx2，，則kAC=（x1-x0）． 由x2=4y可得過點(diǎn)D的切線的斜率為x0， kBC＝（x1+x2）＝x0， x2＝2x0-x1，B2x0-x1，（2x0-x1）2，由此可得kAB＝（x0-x1）. kAC＝-kAB，∠DAC＝∠DAB． AD?奐∠DAC且AD?奐∠DAB， ∠DAC與∠DAB關(guān)于AD對稱． 又d1，d2分別為點(diǎn)D到AB，AC的距離， d1＝d2，由d1+d2＝AD可知∠DAC＝∠DAB＝45°， ∠BAC=90°，ABC是直角三角形．

（2） 設(shè)點(diǎn)C在AD上方． ∠DAB＝45°， kAB＝-1. A-x0，， AB的方程為y-＝-（x+x0）． 代入x2=4y，解得Bx0-4，（x0-4）2.同理可得Cx0+4，（x0+4）2. AB＝2x0-2，AC＝2x0+2． 由SABC＝?AB?AC＝240解得x0=±8， A（8，16） ，B（-12，36），C（-4，4）或A（-8，16） ，B（4，4），C（12，36）． BC的方程為4x+y+12=0或4x-y-12=0．

點(diǎn)評： 例5的求解過程充分使用了“設(shè)而不求”的方法，避免了復(fù)雜計(jì)算．

例6 （2009年清華大學(xué)自主招生考試第3題） 有限條拋物線及其內(nèi)部能否覆蓋整個(gè)坐標(biāo)平面？證明你的結(jié)論．

解析： 如果有限條拋物線及其內(nèi)部能夠覆蓋整個(gè)坐標(biāo)平面，則這有限條拋物線及其內(nèi)部能夠覆蓋坐標(biāo)平面上任意一條直線．從這個(gè)角度出發(fā)，我們可以考慮坐標(biāo)平面上直線與拋物線的位置關(guān)系．如果直線與拋物線的對稱軸不平行，則直線與拋物線的位置關(guān)系有三種可能：①直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)；②直線與拋物線只有一個(gè)切點(diǎn)；③直線與拋物線無公共點(diǎn)．

對于①，拋物線及其內(nèi)部僅覆蓋該直線上的一段線段；對于②，拋物線及其內(nèi)部僅覆蓋該直線上的一個(gè)點(diǎn)；對于③，拋物線及其內(nèi)部不能覆蓋該直線上的任意一點(diǎn)．因此，用有限條拋物線及其內(nèi)部不能覆蓋與這有限條拋物線的對稱軸均不平行的直線，而平面中存在著這樣的直線．

假設(shè)平面內(nèi)有n條拋物線，則拋物線的對稱軸也有n條，那么平面中至少存在一條與這n條直線都相交的直線．也就是說，用有限條拋物線及其內(nèi)部不能覆蓋平面中的一條直線，當(dāng)然更不能覆蓋整個(gè)坐標(biāo)平面．

三、二次曲線與二次曲線的位置關(guān)系問題

二次曲線與二次曲線的位置關(guān)系問題，歸根結(jié)底是聯(lián)立兩個(gè)曲線方程得到的方程組的問題. 在方程組的消元過程中，要注意字母取值范圍的等價(jià)性，否則容易造成疏漏．

例7 （2008年浙江大學(xué)自主招生考試第2題） 橢圓x2+4（y-a）2=4與拋物線x2=2y有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

解析： 聯(lián)立方程得2y2+（1-4a）y+2a2-2=0（①）. 橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，又y=≥0，方程①在［0，+∞）上有解．當(dāng)Δ>0時(shí)，設(shè)方程①有兩個(gè)不同的解y1，y2，則有兩種可能：若方程在［0，+∞）上有一個(gè)解，在（-∞，0）上有另一個(gè)解（該解不合題意，舍去），則Δ＞0，y1y2=a2-1≤0；解得a∈［-1，1］. 若方程的兩個(gè)解都在［0，+∞）上，則Δ＞0，y1+y2>0，y1y2≥0；此時(shí)a∈1，. 若方程僅在［0，+∞）上有一個(gè)解，則Δ＝0，解得a=，此時(shí)y1=y2=∈［0，+∞）. 綜上可得，a的取值范圍為-1，．

點(diǎn)評： 例7也可以通過設(shè)橢圓的參數(shù)方程為x=2cosθ，y=a+sinθ（θ為參數(shù)且θ∈［0，2π）），然后代入拋物線方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來求出a的取值范圍．

上海交通大學(xué)自主招生范文第5篇

關(guān)鍵詞：漢日對比 量詞 “個(gè)” “つ” “”

一、引言

日語在歷史上受漢語影響頗深，至今日語中還存在著大量漢字詞。漢語和日語都屬于量詞型語言，兩種語言中都含有豐富的量詞，《現(xiàn)代漢語量詞語用辭典》（2002）中收錄了常用漢語量詞約600個(gè)，《大辭林》中收錄了日語常用量詞約130個(gè)。

盡管日語和漢語中都有大量的量詞，但是，日語語言系統(tǒng)中并沒有將量詞作為一個(gè)單獨(dú)的詞類，而是將其視為詞綴，因此日語中并沒有“量詞”這一說法。日語中這種類似于量詞用法的詞被稱為“助數(shù)詞”，顧名思義，就是數(shù)詞的附屬物?！度毡菊Z教育大事典》中指出：“助數(shù)詞是詞綴的一種，是標(biāo)志數(shù)量的一種詞語，也是數(shù)詞的構(gòu)成要素?！币来丝梢?，助數(shù)詞在日語中并不作為獨(dú)立的詞類而存在。

“個(gè)”作為漢語中使用頻率最高的量詞，在日語中有與之對應(yīng)的助數(shù)詞“つ”和“”。“つ”屬于和語詞，即日語本身固有的詞匯；“”屬于漢字詞，即日語發(fā)展形成過程中從漢語發(fā)展過去的詞匯。作為表示數(shù)量的助數(shù)詞，二者的用法有同有異，但日語中對應(yīng)漢語量詞“個(gè)”的用法的詞并不僅僅是“つ”和“”。除此之外，本文從漢語量詞“個(gè)”的特殊用法出發(fā)，探討在日語中該用法是否存在及如何存在。

在漢日量詞對比史上具有劃時(shí)代意義的文獻(xiàn)《日AIZの數(shù)~のC能》（1953）中，作者渡邊實(shí)對漢日量詞進(jìn)行了對比，并提出了幾點(diǎn)重要理論：1.數(shù)詞只有同量詞結(jié)合才能取得一個(gè)獨(dú)立的詞的地位；2.漢語量詞是一個(gè)獨(dú)立的實(shí)詞，日語量詞則是一個(gè)接尾語；3.漢語量詞比日語量詞發(fā)達(dá)的原因是它有區(qū)別同音異義詞的功能；4.漢語量詞中使用頻率最高的量詞“個(gè)”有調(diào)整語調(diào)的作用。

二、漢語量詞“個(gè)”與日語助數(shù)詞“つ”“”的基本共通點(diǎn)

作為量詞，其基本的功能就是用來表示數(shù)量單位。在表示數(shù)量單位時(shí)，日語助數(shù)詞“つ”“”與漢語量詞“個(gè)”的語義范圍基本是一致的。日語中“つ”“”的用法與漢語量詞“個(gè)”的用法是一致的，都是直接跟在數(shù)詞之后（但由于漢語量詞和日語助數(shù)詞并不是一一對應(yīng)的，因此個(gè)別情況下會使用其他量詞“枚”“種”等）。例如：

（1）リンゴを一つください。

請給我一個(gè)蘋果。

（2）人生は慌ただしくて、もしかすると彼はただ1人の旅人ひとつえての旅人。

人生匆匆，他只是其中一個(gè)難以忘懷的過客。

（3）山田太郎さんの寫真がほしいと10入りの箱ごとIっていかれます。

想要山田太郎的照片的話，要買十個(gè)裝的箱子。

（4）中國は金メダルを32ももらったから、中國の國民として、プライドをしみじみと感じた。

中國獲得了32枚金牌，作為中國人，深深地感受到了民族自豪感。

（5）家庭は子供にして第一學(xué)校だ。

家庭是孩子的第一所學(xué)校。

（6）もちろん、郅永hになる方法は心中ではなく、ただひとつの情rです。

當(dāng)然，讓愛永恒的方法并不是要殉情，這只是一種情況。

由例（1）～（6）可以看出，盡管相對應(yīng)的詞不同，但是這些句子的漢日語法義是一致的。簡而言之，“つ”“”和漢語“個(gè)”在表數(shù)量單位時(shí)有著一致的用法。

三、使用方法的比較分析

（一）使用范圍

與日語助數(shù)詞相比，漢語量詞“個(gè)”的使用范圍更廣，“個(gè)”在漢語中可作指量詞，即“這個(gè)”“那個(gè)”。例如：

（7）這個(gè)殺手不太冷。

（8）那個(gè)少女很普通。

（9）獄里待時(shí)間太長，已完全不認(rèn)識這個(gè)世界了。

（10）這個(gè)端午不平靜。

（11）中國人為什么敢投資，一個(gè)是的確有錢，這個(gè)城市化、資本過剩和危機(jī)，這個(gè)“危機(jī)三角”的循環(huán)理論我已經(jīng)講過了。

（12）隔壁那個(gè)飯桶，你吃了我這么多飯，打算拿什么償還？

（13）由于那個(gè)年代文化的貧瘠和饑渴，帥子偷閱司湯達(dá)的《紅與黑》并到處演講，被公社抓了典型。

（14）那個(gè)架式就像是要抓取獵物的螃蟹。

日語中的“つ”和“”不可作指量詞，“這個(gè)”“那個(gè)”用“この/これ”“その/それ”“あの/あれ”表示。其中，“この/これ”義為離說話者自己近的“這個(gè)”東西，“その/それ”指的是離說話者遠(yuǎn)但離聽話者近的“那個(gè)”東西，“あの/あれ”指的是離在場人都遠(yuǎn)的“那個(gè)”東西。要注意的是，“この”“その”“あの”之后一定要加名詞作定語，而“これ”“それ”“あれ”后不用加名詞作定語。例如：

（15）これはぼくの最近の杰作だ。

這（個(gè)）是我最近的杰作。

（16）これがわたしの妹です。

這（個(gè)）是我妹妹。

（17）この場所。

這個(gè)地方。

（18）そのから、勉は人材になる方法として、人の日常生活をに影した。

哪牽ǜ觶┦焙蚱穡學(xué)習(xí)成為人才的方法，對人的日常生活產(chǎn)生了影響。

（19）それが大事。

那（個(gè)）是很重要的。

（20）あの先生のことは私に深い印象を殘った。

那個(gè)（位）老師的事給我留下了很深的印象。

（二）與數(shù)詞的組合

漢語“個(gè)”與數(shù)詞的組合不受限制，可與任一數(shù)字組合。但是日語中表示“個(gè)”的助數(shù)詞的使用范圍受到限制，數(shù)詞一到九可加“つ”也可用“”，十以上的數(shù)詞就只能用“”。如：

（21）ひとつ/一 ふたつ/兩 みっつ/三

よっつ/四 いつつ/五 むっつ/六

ななつ/七 やっつ/八 ここのつ/九

（22）訾槨護(hù)匹伐悌`ベット12入。

內(nèi)含12個(gè)冷凍果子露冰淇淋。

除了對“個(gè)”的表達(dá)形式不同之外，漢語與日語中量詞、助數(shù)詞的位置也有不一樣的用法。漢語一般使用“數(shù)詞+‘個(gè)’+名詞”結(jié)構(gòu)，日語中可用“數(shù)詞+‘個(gè)’+の+名詞”結(jié)構(gòu)，也可用“名詞+數(shù)詞+‘個(gè)’”結(jié)構(gòu)。雖說漢語中也有“名詞+數(shù)詞+‘個(gè)’”結(jié)構(gòu)，如“蘋果五個(gè)”，但該用法多見于古代漢語，不在本文討論的范圍之內(nèi)，故略過不表。例如：

（23）我有五個(gè)蘋果。

（24）昨天，清華大學(xué)自主招生、領(lǐng)軍人才選拔及自強(qiáng)計(jì)劃三大自主選拔項(xiàng)目同時(shí)開考，6000余名考生在全國29個(gè)省份36個(gè)考點(diǎn)同時(shí)參加初試。

（25）據(jù)了解，米粽足足用了80斤糯米，花了12個(gè)小時(shí)才熬制而成。

（26）ここにリンゴ（蘋果）が5あります。

這里有五個(gè)蘋果。

（27）私は5のリンゴ（蘋果）があります。

我有五個(gè)蘋果。

（28）父は中學(xué)生のr、自分でラジオ（收音機(jī)）を何も作って嬰輟⒓窯蛑けてあげました。

父親還是中學(xué)生時(shí)，做了幾個(gè)收音機(jī)來補(bǔ)貼家里。

（三）與疑問詞連用

當(dāng)表達(dá)對某物數(shù)量的疑問時(shí)，漢語一般是用“幾個(gè)”或“多少個(gè)”來詢問，“幾個(gè)”多用于視線內(nèi)數(shù)目不超過十個(gè)的情況，“多少個(gè)”多用于視線內(nèi)數(shù)量超過十個(gè)的情況；但是在日語中沒有這種差別，日語中詢問數(shù)量時(shí)一般使用“何”或“いくつ”，詢問的時(shí)候一般直接問“何？”或“いくつ？”，來表示“你要幾個(gè)？”或“有幾個(gè)？”，根據(jù)不同的語境有不同的意義。例如：

（29）這些葡萄有幾斤？

（30）這些葡萄有多少個(gè)？

（31）日本で使われるh字は全部で何ありますか？

在日本使用的漢字一共有多少？

（32）シャッフル?いくつ知ってる？

你對shuffle知道多少？

（33）いくつ欲しいのか？

你要多少？

除此之外，漢語量詞“個(gè)”與“怎么”連用時(shí)，也是表詢問，結(jié)構(gòu)一般為“怎么+‘個(gè)’+名詞”，表達(dá)的是“（這是）一個(gè)+什么+名詞”的意思。但是在日語中，助數(shù)詞“つ”和“”沒有這種用法，相似的用法為“どんな+名詞”。例如：

（34）怎么個(gè)情況？

（35）どんな感じ？

感覺怎么樣？

（36）キミがほしいくすりってどんなのだろう？

你想要的是什么樣的藥？

（四）重疊用法

漢語量詞“個(gè)”作為一個(gè)非定量單音節(jié)量詞是可以重疊使用的，例如我們可以說“（一）個(gè)個(gè)”，但是在日語中，“つ”和“”并沒有這種用法，類似的重疊用法是“どれもこれも（這個(gè)也……那個(gè)也……）”，而不會像漢語一樣直接用“”或“つつ”表示。例如：

（37）個(gè)個(gè)都是人才。

（38）你們個(gè)個(gè)都不行。

（39）どれもこれもだめだ。

這個(gè)也不行那個(gè)也不行（個(gè)個(gè)都不行）。

除此之外，有另外一種重疊方式是漢語量詞、日語助數(shù)詞共有的，都表示依次的順序。例如：

（40）我把東西一個(gè)個(gè)擺好。

（41）一個(gè)一個(gè)來！

（42）一つ一つ數(shù)える。

一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)。

（五）特有用法

漢語中，指人的時(shí)候一般用“數(shù)詞+個(gè)+人”，如“一個(gè)人”，說“數(shù)詞+人”是受到了古代漢語的影響；而日語中只能說“ひとり（一人）、ふたり（二人）、さんにん（三人）”等。

（43）我們放心不下讓她一個(gè)人回家，無論如何也不能讓孩子再受任何委屈了。

（44）不，這從來不是一個(gè)人的球隊(duì)，首先我們有11個(gè)人首發(fā)，對我們來說這是團(tuán)隊(duì)的事。

（45）彼はひとりで苦しい生活を^ぎています。

他一個(gè)人過著艱苦的生活。

（46）だから、私はそのふたりを同じ程度におく、そうしたら、私は日本Zと日本のs史がよくわかるようになる。

因此，我把這兩個(gè)人放在同一程度下才能更好地了解日語和日本歷史。

（47）大人蓀哎氅`プ?埂堡沃倭激筏搐摔螅5人）の畫像集隨r更新していきます。

高人氣組合溝撓押瞇湊婕隨時(shí)更新。

漢語中還有“動詞+個(gè)+補(bǔ)語/賓語”的用法，在日語中沒有與之相對應(yīng)的用法。例如：

（48）來個(gè)幾趟。

（49）我去洗個(gè)澡。

日語助數(shù)詞“つ”可以用作序數(shù)詞，漢語量詞“個(gè)”沒有這種用法。例如：

（50）一つ/第一

（51）二つ/第二

（52）人gの感情は、一般的に三つのNがあります。一つは肉Hの情、二目は友情、もう一つは矍槨扦埂

人一般有三種感情，第一個(gè)是親情，第二個(gè)是友情，再一個(gè)就是愛情。

日語助數(shù)詞“つ”也可表示年齡（對象一般為小孩子），漢語量詞“個(gè)”沒有這種用法。例如：

（53）美Dちゃん今年は駐膜坤危

美D今年幾歲了？

（54）おいくつですか？

你今年多大了？

四、結(jié)語

本文從漢語量詞“個(gè)”的使用角度出發(fā)，對比了其在日語中的相應(yīng)用法，發(fā)現(xiàn)日語中不僅有與“個(gè)”對應(yīng)的助數(shù)詞“つ”和“”，同時(shí)也有其他的表達(dá)方式，如替代指量詞的“この/これ”“その/それ”“あの/あれ”等。日Z和漢語在語法結(jié)構(gòu)上的差異導(dǎo)致了量詞的使用差異，如漢語是“SVO”結(jié)構(gòu)，而日語是“SOV”結(jié)構(gòu)，這一點(diǎn)影響了量詞的位置及句法功能。另外，本文還從特殊用法角度闡釋了漢語量詞“個(gè)”與日語助數(shù)詞“つ”的差異，有助于日語學(xué)習(xí)者的理解?？傮w來說，漢語量詞“個(gè)”的語用范圍比日語助數(shù)詞“つ”和“”要大得多，由于部分與漢語量詞“個(gè)”對應(yīng)的日語用法并不屬于日語助數(shù)詞范疇，因此本文并沒有局限于“漢語量詞‘個(gè)’與日語助數(shù)詞‘つ’‘’的對比分析”，而是以對應(yīng)用法為基石來進(jìn)行比較，以便讀者理解。

本文的不足之處在于：首先，在對比的內(nèi)容上并不是窮盡的，本文所囊括的比較內(nèi)容不夠全面，因此在對比的內(nèi)容、類型上還需要一定的補(bǔ)充；其次，本文所使用的語料基本來自于日語學(xué)習(xí)者語料庫以及各搜索引擎，不能保證其表達(dá)習(xí)慣與日語母語者完全一致。因此，本文對漢語量詞“個(gè)”與其在日語中對應(yīng)用法的對比分析研究并不是終點(diǎn)，研究者還有大量的工作要做，漢語量詞“個(gè)”在日語中的其他對應(yīng)用法還有待考量。

本研究所用部分日文數(shù)據(jù)來源于《日語學(xué)習(xí)者書面語語料庫》（開發(fā)者：上海交通大學(xué) 張建華）。

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