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簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的過(guò)程范文第1篇

一、融入生活，提煉數(shù)學(xué)模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)善于捕捉和選擇學(xué)生周邊的實(shí)際問(wèn)題，從生活中提煉數(shù)學(xué)模型。現(xiàn)實(shí)的生活材料，能激發(fā)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，學(xué)生如果能認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中隱藏著豐富的數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么他們就有了開(kāi)放的想象空間。因此我們要把學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活作為切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)開(kāi)放性的、生活化的、真實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。如學(xué)習(xí)了“方向和位置”之后，筆者把習(xí)題中“說(shuō)一說(shuō)放學(xué)回家的路線”擴(kuò)展為“繪制從自己家到學(xué)校的路線圖”。如在教學(xué)《分類(lèi)》一課時(shí)，筆者在課前布置學(xué)生和爸爸媽媽一起去逛一逛文具店或超市，要求他們留心觀察商品是如何擺放的。筆者將商場(chǎng)的商品制作了課件，為新課時(shí)創(chuàng)設(shè)了情境，然后問(wèn)學(xué)生：“你們看到了什么?這些商品是如何擺放的?”因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題與學(xué)生的實(shí)際生活水融，所以他們就能聯(lián)系實(shí)際輕而易舉地回答出：“同一種商品擺放在一起”，這就為認(rèn)識(shí)分類(lèi)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、自主探索，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是對(duì)具體事物的感知、辨別而抽象概括的過(guò)程，數(shù)學(xué)模型的建立和思維的發(fā)展需要經(jīng)歷一個(gè)漸進(jìn)思辨的過(guò)程。因此，這個(gè)過(guò)程應(yīng)該讓學(xué)生通過(guò)自主探索去完成，讓他們用自己的頭腦親自去發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性或規(guī)律，進(jìn)而獲得新概念。我們要努力創(chuàng)設(shè)適合的問(wèn)題情境，為學(xué)生自主學(xué)習(xí)搭建一個(gè)平臺(tái)，給學(xué)生更多探討的空間和交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在更自由、更廣闊的空間中去合作、探索和發(fā)現(xiàn)，形成結(jié)論，建立“應(yīng)用問(wèn)題”數(shù)學(xué)模型。如筆者在教學(xué)“計(jì)數(shù)單位”這一概念時(shí)，筆者讓學(xué)生數(shù)出10根小棒捆成一擁，告訴他們10個(gè)一就是1個(gè)十，幫助他們理解計(jì)數(shù)單位的含義。

三、解決問(wèn)題，拓展數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)是為了更好地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，為了更好地認(rèn)識(shí)自然、社會(huì)，改造自然、社會(huì)。在建立數(shù)學(xué)模型中收獲的一些數(shù)學(xué)思想方法，能為以后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和將來(lái)的社會(huì)實(shí)踐埋下良好的伏筆。對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型我們還要進(jìn)行合理的解釋和應(yīng)用，才能賦予已建立的數(shù)學(xué)模型以生命力。新的模型通過(guò)驗(yàn)證、解釋?zhuān)湍茏匀欢坏鼗蓪W(xué)生自己的解題經(jīng)驗(yàn)，而這是學(xué)生認(rèn)知的一種飛躍。把建立的數(shù)學(xué)模型置身于實(shí)際生活中去運(yùn)用、去檢驗(yàn)，從數(shù)學(xué)的角度將生活中較復(fù)雜的問(wèn)題解決，使它們得以簡(jiǎn)化，讓學(xué)生在其中體會(huì)數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，從而體驗(yàn)所學(xué)知識(shí)的用途和益處。“由感性到理性再到感性循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過(guò)程”，這是人的認(rèn)識(shí)過(guò)程，從具體的問(wèn)題經(jīng)歷抽象提煉初步構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這并不是學(xué)生認(rèn)識(shí)的終結(jié)，更重要的是我們還要組織學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得以拓展和延伸。如“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)模型是通過(guò)“雞”、“兔”來(lái)研究問(wèn)題、解決問(wèn)題從而初步建立起來(lái)的。筆者以為，南于建立模型的過(guò)程難以將所有的同類(lèi)事物列舉窮盡，因此我們要帶領(lǐng)學(xué)生將考察的范圍繼續(xù)擴(kuò)展，從而驗(yàn)證當(dāng)情境數(shù)據(jù)變化時(shí)所得模型的穩(wěn)定性。筆者出示了以下問(wèn)題讓學(xué)生分析：9張桌子共26人，正在進(jìn)行乒乓球單打、雙打比賽，單打、雙打各幾張桌子?”“甲、乙兩個(gè)車(chē)間共126人，如果從甲車(chē)間每8人中選一名代表，從乙車(chē)間每6人中選一名代表，正好選出17名代表。甲、乙兩車(chē)間各有多少人?”……像這樣，在學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)模型得到了豐富和拓展。

簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的過(guò)程范文第2篇

【關(guān)鍵詞】項(xiàng)目學(xué)習(xí)模式 初中 數(shù)學(xué) 活動(dòng)課 建構(gòu)

在初中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，想要更好的進(jìn)行活動(dòng)課的教學(xué)過(guò)程構(gòu)建，教師可以以項(xiàng)目學(xué)習(xí)的模式為基礎(chǔ)來(lái)更好的展開(kāi)活動(dòng)課的教學(xué)設(shè)計(jì)。項(xiàng)目學(xué)習(xí)模式首先能夠讓學(xué)生的活動(dòng)課內(nèi)容有明確限定，學(xué)生需要完成的學(xué)習(xí)任務(wù)也非常明確，這將會(huì)幫助學(xué)生更有針對(duì)性的展開(kāi)相關(guān)的學(xué)習(xí)探究。教師要合理的設(shè)計(jì)活動(dòng)課的教學(xué)過(guò)程，讓項(xiàng)目學(xué)習(xí)模式更好的輔助活動(dòng)的有效教學(xué)。

一、激發(fā)學(xué)生思維的活動(dòng)項(xiàng)目

教師可以靈活的創(chuàng)設(shè)活動(dòng)的內(nèi)容與形式，可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)來(lái)設(shè)置多樣化的學(xué)習(xí)項(xiàng)目，這也能夠更好的促進(jìn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解與吸收。教師在進(jìn)行活動(dòng)課的設(shè)置時(shí)要注重展開(kāi)對(duì)于學(xué)生多方面能力的培養(yǎng)與鍛煉。首先，要注重對(duì)于學(xué)生思維能力的激發(fā)，這對(duì)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)非常重要。教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容以及具體的教學(xué)目標(biāo)來(lái)創(chuàng)設(shè)鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手探究的學(xué)習(xí)活動(dòng)，活動(dòng)的形式也可以有變化。復(fù)雜的問(wèn)題可以讓學(xué)生進(jìn)行小組探究，能夠獨(dú)立完成的任務(wù)則要鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考。這樣才能夠更好的深化學(xué)生對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的理解與認(rèn)知，并且促進(jìn)學(xué)生對(duì)于課堂知識(shí)的良好吸收。這才是基于項(xiàng)目學(xué)習(xí)模式下活動(dòng)課應(yīng)當(dāng)發(fā)揮的教學(xué)功效。

教師可以通過(guò)各種游戲的活動(dòng)形式來(lái)活躍學(xué)生思維。例如，課堂上教師可以用3根火柴拼接1個(gè)三角形，隨后讓學(xué)生思考繼續(xù)拼接下去2個(gè)、3個(gè)、5個(gè)三角形需要多少根火柴，學(xué)生立即參與操作，最后得出結(jié)論。在此基礎(chǔ)上教師可以提出問(wèn)題：拼接到第n個(gè)三角形，需要多少根火柴？學(xué)生經(jīng)過(guò)這樣的操作過(guò)程，不僅激發(fā)了對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，還體驗(yàn)到了成功的快樂(lè)。教師還可以結(jié)合學(xué)生生活給大家創(chuàng)設(shè)一些激發(fā)思維的數(shù)學(xué)活動(dòng)，例如，可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)家庭生活記賬，收入為正，支出為負(fù)，收集整理數(shù)據(jù)，利用表格記錄匯報(bào)。這將會(huì)很好的加強(qiáng)學(xué)生對(duì)正負(fù)數(shù)在生活應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的認(rèn)識(shí)，同時(shí)激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣?；陧?xiàng)目學(xué)習(xí)設(shè)置的數(shù)學(xué)活動(dòng)課不僅豐富了課堂教學(xué)形式，也能夠很好的展開(kāi)對(duì)于學(xué)生能力的鍛煉，是對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的良好促進(jìn)。

二、鼓勵(lì)學(xué)生探究的活動(dòng)項(xiàng)目

基于項(xiàng)目學(xué)習(xí)模式的數(shù)學(xué)活動(dòng)課可以有不同的側(cè)重點(diǎn)，教師要有意識(shí)的展開(kāi)對(duì)于學(xué)生各方面能力的良好鍛煉。教師可以在課堂上創(chuàng)設(shè)鼓勵(lì)學(xué)生探究的活動(dòng)項(xiàng)目，這同樣是深化學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力的一個(gè)很好的出發(fā)點(diǎn)。教師可以結(jié)合知識(shí)內(nèi)容設(shè)置一些開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生自己針對(duì)具體問(wèn)題展開(kāi)思考探究。教師也可以參與到學(xué)生的探究活動(dòng)中來(lái)，尤其是當(dāng)學(xué)生的思維遇到阻礙時(shí)可以給予學(xué)生一些好的引導(dǎo)與啟發(fā)，進(jìn)而讓學(xué)生的探究活動(dòng)更好的進(jìn)行。經(jīng)過(guò)這樣的訓(xùn)練不僅讓學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力得到有效深化，大家對(duì)于知識(shí)的理解也會(huì)更為深入，知識(shí)教學(xué)的效率也得到了顯著提升。

以數(shù)學(xué)活動(dòng)課中的月歷問(wèn)題的教學(xué)為例。教師可以針對(duì)這部分內(nèi)容給學(xué)生們創(chuàng)設(shè)如下探究活動(dòng)：在某月的月歷中，以3×3見(jiàn)方的方框中9個(gè)數(shù)字之和與方框中心數(shù)有何關(guān)系。學(xué)生立刻就這個(gè)問(wèn)題積極討論起來(lái)，不少學(xué)生都能夠發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系。這是一個(gè)很好的基礎(chǔ)，教師可以進(jìn)一步提出思考問(wèn)題：不改變方框大小，將方框移動(dòng)幾個(gè)位置，試一試得出的結(jié)論是什么，對(duì)任何一個(gè)月都成立嗎？學(xué)生立刻分組拿出自己的月歷，大家積極展開(kāi)合作探索，隨后將得到的結(jié)果進(jìn)行歸納與匯報(bào)，經(jīng)過(guò)學(xué)生的努力后問(wèn)題最終也得以解答。這樣的活動(dòng)項(xiàng)目不僅能夠讓學(xué)生貼近生活，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性，這也可以鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)身邊實(shí)例，讓學(xué)生去質(zhì)疑、探索，使學(xué)生真正理解、認(rèn)識(shí)課堂上教學(xué)的核心內(nèi)容。

三、豐富活動(dòng)項(xiàng)目教學(xué)形式

想要讓基于項(xiàng)目學(xué)習(xí)模式下的數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)有更好的成效，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)的豐富活動(dòng)項(xiàng)目的教學(xué)形式，要借助多樣化的教學(xué)方法來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解與掌握。一方面，教師可以靈活的應(yīng)用多媒體課件給課堂教學(xué)帶來(lái)的輔助功效，這不僅能夠讓知識(shí)的呈現(xiàn)更加直觀，這也可以讓很多教學(xué)過(guò)程更加清晰有條理。另一方面，教師可以在課堂上展開(kāi)一些有意思的數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)。這種方法不僅深受學(xué)生們喜愛(ài)，大家在動(dòng)手的過(guò)程中對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)也會(huì)更加投入。這才是高效的數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)應(yīng)當(dāng)有的展開(kāi)模式。

以一元一次方程的實(shí)踐探索問(wèn)題為例，教師可以組織大家用一根質(zhì)地均勻的小木桿和一些等重小物體做實(shí)驗(yàn)，目的是培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析探究問(wèn)題的能力。教師可以利用多媒體課件來(lái)給學(xué)生們展示整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程：在木桿中間處栓繩吊起，兩端懸掛小重物，記錄并觀察平衡情況，第二步左右兩邊再加一重物，一起向右移動(dòng)，直至平衡，觀察記錄，第三步僅左邊加小重物，然后移動(dòng)，記錄支點(diǎn)到重物處的距離，觀察平衡情況。通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)和多媒體運(yùn)用，以動(dòng)畫(huà)的形式移動(dòng)小重物，直觀形象地把一元一次方程的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)踐中去。不僅如此，這也深化了學(xué)生對(duì)于一元一次方程的認(rèn)知，這對(duì)于知識(shí)教學(xué)將會(huì)是很好的輔助。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 閆鳳珍. 初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)研究[D]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2013.

簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的過(guò)程范文第3篇

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；模式；教學(xué)；策略；方法

數(shù)學(xué)建模是指用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問(wèn)題，要求從實(shí)際錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系中找出其內(nèi)在規(guī)律，然后用數(shù)字、圖表、符號(hào)和公式將其表示出來(lái)，再經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的處理，得出供人們進(jìn)行分析、決策、預(yù)報(bào)或控制的定量結(jié)果。這種將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化、歸結(jié)為數(shù)學(xué)問(wèn)題并求解的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模[1]。

在高師中開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教育是提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力的有效途徑、是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的有效手段、也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必然要求。怎樣才能更好地開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教育已引起了越來(lái)越多研究者的興趣。

本文在數(shù)學(xué)建模教學(xué)方法方面進(jìn)行探討，提出了“做、學(xué)、教――合作探討”的數(shù)學(xué)建模教學(xué)新模式，以求能夠更好地開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)。

一、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的現(xiàn)狀分析

在數(shù)學(xué)建模課堂上，許多教師可能會(huì)有這樣的感受：我們課前精心備課，課上力求把數(shù)學(xué)建模講解的精彩生動(dòng)，以期望學(xué)生能夠有較大的收獲，但學(xué)生在課堂上卻無(wú)精打采、一片茫然、收獲甚微。究其原因是因?yàn)樵谡麄€(gè)課堂上學(xué)生沒(méi)有自己的思考、沒(méi)有探索新知的熱情和激情、也沒(méi)有獲得成功后的興奮感和成就感。這會(huì)使原本對(duì)數(shù)學(xué)建模充滿好奇、帶著極大興趣走進(jìn)數(shù)學(xué)建模課堂的學(xué)生逐漸對(duì)數(shù)學(xué)建模失去興趣并產(chǎn)生畏懼感。因此，有必要對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)方法進(jìn)行探討。

二、在高師開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的方法

成就動(dòng)機(jī)理論認(rèn)為，學(xué)生最主要的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)就是學(xué)業(yè)成就動(dòng)機(jī)，它至少包括三方面的內(nèi)驅(qū)力，即認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力、自我提高的內(nèi)驅(qū)力和附屬內(nèi)驅(qū)力[2]。教師要充分考慮學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平和認(rèn)知能力，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，注意問(wèn)題坡度，分階段進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)建模成就，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的成就動(dòng)機(jī)。

1.初級(jí)階段

在這個(gè)階段，教師應(yīng)通過(guò)一系列高質(zhì)量、連貫性的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題是什么、思考問(wèn)題應(yīng)該怎樣解決，解題方法能否進(jìn)一步改進(jìn)。這會(huì)促使學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題、感悟問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生思考、感悟的結(jié)果得到教師和同學(xué)的認(rèn)可時(shí)便獲得了成就感、興奮感。

例如，把如下問(wèn)題展示給學(xué)生：

A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），怎樣才能測(cè)量出A，B兩點(diǎn)間的距離？

首先讓學(xué)生思考如下問(wèn)題：

這是哪一類(lèi)問(wèn)題？要知道哪些條件才能解決？

你打算用什么辦法解決？怎么解決？

學(xué)生在充分思考、交流后，向全班同學(xué)展示自己對(duì)該問(wèn)題的思考過(guò)程與解決問(wèn)題的方法。

教師在學(xué)生發(fā)表自己的看法后應(yīng)給予及時(shí)、科學(xué)評(píng)價(jià)。然后，接著問(wèn)如下問(wèn)題：

還有其他解決該問(wèn)題的辦法嗎？

如果有，應(yīng)該怎樣解決？如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

如果A、B兩點(diǎn)分別在山頂和山腳，那么必須知道哪些條件才能解決？你打算如何解決？

如果A、B是球面上的兩點(diǎn)，那么必須知道哪些條件才能解決？怎樣解決？

在這個(gè)“做、學(xué)、教――合作探索”的課堂中，由于學(xué)生會(huì)不斷受到獲得成功的興奮的刺激，所以，也不會(huì)感到疲倦與數(shù)學(xué)建模課堂的枯燥。同時(shí)，學(xué)生通過(guò)這種方式得到的知識(shí)會(huì)在腦子中留下深刻的印象，從而提升了數(shù)學(xué)建模課堂的教學(xué)質(zhì)量。

2.中級(jí)階段

建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者以自己原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)積極建構(gòu)新知識(shí)的行為。

認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論認(rèn)為：一切有意義的學(xué)習(xí)，都是把先前獲得的經(jīng)驗(yàn)遷移到新問(wèn)題中。

由以上理論可知，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模課堂上不應(yīng)該是被動(dòng)接受書(shū)本和教師講解知識(shí)的過(guò)程，而應(yīng)該是自覺(jué)將新知識(shí)與原有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比、批判、遷移、重建的過(guò)程。因此，教師在數(shù)學(xué)建模課堂上，應(yīng)采用“做、學(xué)、教――合作探索”的課堂教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。

例如，把如下題目展示給學(xué)生：

某企業(yè)，2013年1月份、2月份、3月份銷(xiāo)售產(chǎn)品分別為10萬(wàn)噸、12萬(wàn)噸、13萬(wàn)噸。另外，經(jīng)調(diào)查4月份的銷(xiāo)量為13.6萬(wàn)噸。請(qǐng)以前幾個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù)，預(yù)測(cè)10月份該企業(yè)產(chǎn)量應(yīng)定為多少萬(wàn)噸？

首先，讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，合作探索、充分討論后可能會(huì)有如下幾種探究成果：

（1）用一次函數(shù)模型y=kx+b進(jìn)行預(yù)測(cè)；

（2）用二次函數(shù)模型y=px2+ax+r進(jìn)行預(yù)測(cè)；

（3）用指數(shù)函數(shù)模型y=a?xb+c進(jìn)行預(yù)測(cè)；

（4）用冪函數(shù)模型y=b?lgax+c進(jìn)行預(yù)測(cè)。

其次，利用投影儀展示各小組的成果，并請(qǐng)小組代表簡(jiǎn)述本小組探索的結(jié)果并與其他小組交流，分析哪個(gè)數(shù)學(xué)模型最好，是否還能繼續(xù)改進(jìn)。

然后，根據(jù)交流的結(jié)果，各小組繼續(xù)改進(jìn)自己的數(shù)學(xué)模型，再進(jìn)行交流，最后確定一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型。

學(xué)生只有通過(guò)這種方式獲取知識(shí)時(shí)，才能夠更好地進(jìn)行知識(shí)正遷移，才能夠更快地提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

3.高級(jí)階段

在學(xué)生掌握了一些基本的數(shù)學(xué)建模思想、方法后，應(yīng)讓學(xué)生利用周末或節(jié)假日時(shí)間走進(jìn)超市、企業(yè)等部門(mén)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、并用數(shù)學(xué)建模的方法解決問(wèn)題。例如：可以讓學(xué)生走進(jìn)移動(dòng)營(yíng)業(yè)廳，了解各種業(yè)務(wù)、套餐的收費(fèi)情況，通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法為自己選擇最適合自己的套餐。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅可以體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，還可以享受到成功的快樂(lè)。

教師進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的方法對(duì)數(shù)學(xué)建模教育質(zhì)量的高低有著重要的影響。因此，本文就開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的方法進(jìn)行了一些有益的探討，得出若采用“做、學(xué)、教――合作探索”的課堂教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，可以有效提高數(shù)學(xué)建模課堂的教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的過(guò)程范文第4篇

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;創(chuàng)新思維;創(chuàng)新實(shí)踐;綜合能力

卓別林曾說(shuō)過(guò)，一個(gè)在作品創(chuàng)作中可以不遵循常規(guī)，不局限于套路，依照自我的創(chuàng)造思維的藝術(shù)家，往往能夠達(dá)到更佳的效果。”打破常規(guī)，學(xué)會(huì)創(chuàng)新對(duì)于一個(gè)藝術(shù)家如此，而對(duì)于在校學(xué)生亦然。數(shù)學(xué)，可以說(shuō)是整個(gè)自然學(xué)科的奠基石，是進(jìn)修所有理工科的理論基礎(chǔ)，而它的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛，其應(yīng)用范圍早已從傳統(tǒng)的物理學(xué)、理論力學(xué)拓寬到信息、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、建筑等各個(gè)學(xué)科，從自然科學(xué)擴(kuò)展到社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的絕對(duì)性的地位對(duì)將來(lái)社會(huì)所需人才的數(shù)學(xué)修養(yǎng)提出了更高一層次的要求。將來(lái)社會(huì)所需求的人才不但具備必要的數(shù)學(xué)邏輯思維、推導(dǎo)和演算能力，還要加強(qiáng)創(chuàng)新思維，提升創(chuàng)新實(shí)踐能力，如：能夠使用相應(yīng)的專(zhuān)業(yè)軟件（比如MATLAB、SAS、SIMULINK等），在自己所涉獵的專(zhuān)業(yè)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，通過(guò)定量分析，解決實(shí)際的問(wèn)題。而利用數(shù)學(xué)理論知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程就是一種創(chuàng)新實(shí)踐過(guò)程。有學(xué)者曾提出，任何學(xué)科都要求邏輯推理，但是學(xué)習(xí)的最終目的絕不能停留在理論層面，更有意義和價(jià)值的是用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題，包括生活實(shí)際中的問(wèn)題和其他學(xué)科中的專(zhuān)業(yè)問(wèn)題。

1、數(shù)學(xué)建模

“數(shù)學(xué)建模具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性，更要求建模結(jié)論的結(jié)論的準(zhǔn)確性，在現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活中具有廣闊的應(yīng)用性”。然而現(xiàn)在許多學(xué)校在教學(xué)過(guò)程中，題目有答案，已知條件、求證問(wèn)題也都清楚，題目最后也一定是能夠做得出的，這樣也只是停留在提升數(shù)學(xué)邏輯能力、掌握理論知識(shí)的層面，但是以后的工作和生活中所要解決的的問(wèn)題往往是不知道答案的，甚至不知道存不存在答案。在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中要求的不僅僅是完整理論知識(shí)框架和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，更需要的是創(chuàng)新思維和創(chuàng)新實(shí)踐能力和處理各種實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

利用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際生活中的問(wèn)題（即定量的去描述和分析實(shí)際問(wèn)題），首先是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，然后在建立的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上研究實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行研究并得到相應(yīng)的結(jié)論。數(shù)學(xué)模型是對(duì)事物（包括自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)）本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)表達(dá)或是定量描述，是對(duì)部分實(shí)際事物的一個(gè)抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。也可以定義數(shù)學(xué)建模過(guò)程為提出合理的假設(shè)，舍掉沒(méi)有顯著相關(guān)的因素，簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題并抽象出一個(gè)理論上的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用數(shù)學(xué)邏輯思維和算法找到精確的數(shù)值解，再通過(guò)計(jì)算機(jī)和軟件，將所得到的模型解來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的全部過(guò)程。由此可知，數(shù)學(xué)建模特點(diǎn)是利用數(shù)學(xué)理論知識(shí)和計(jì)算機(jī)軟件來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，是搭建在書(shū)本上的理論知識(shí)與實(shí)際生活中的問(wèn)題之間的紐帶。對(duì)于數(shù)學(xué)模型的研究，并沒(méi)有一個(gè)具有普遍性、適用性的現(xiàn)成的準(zhǔn)則，它需要模型構(gòu)建者豐富的經(jīng)驗(yàn)、合理的假設(shè)和犀利的洞察力。整個(gè)過(guò)程中的每一個(gè)環(huán)節(jié)都具有開(kāi)放性，能夠完全反映出模型構(gòu)建者的創(chuàng)新思維。所以，數(shù)學(xué)建模不像其他課程只是單純的進(jìn)行知識(shí)的傳授，而是一門(mén)實(shí)踐課程，更重要的是在數(shù)學(xué)過(guò)程中著重的培養(yǎng)學(xué)生們的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維，是目前教學(xué)改革中一個(gè)重要課題。數(shù)學(xué)建模不但是數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的創(chuàng)新，更重要的是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力提升的創(chuàng)新。從而鼓勵(lì)學(xué)生打破傳統(tǒng)的學(xué)數(shù)學(xué)的框架，促使學(xué)生突破思維定勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生自主創(chuàng)新的思維。

2、當(dāng)前高校教學(xué)存在的不足

總的來(lái)看，目前大學(xué)畢業(yè)生身上露出來(lái)的問(wèn)題往往是能夠扎實(shí)的掌握基礎(chǔ)的理論知識(shí)和完善的知識(shí)體系框架，但是缺乏利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，沒(méi)有把理論知識(shí)與實(shí)際生活聯(lián)系在一塊。但對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)這一方面，就存在以下幾個(gè)問(wèn)題和不足：第一，教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)都放在知識(shí)的傳授環(huán)節(jié)，而沒(méi)有注重學(xué)生的自學(xué)能力，實(shí)踐能力（即利用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力）和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。第二，使用教材比較陳舊，教學(xué)內(nèi)容比較單一，所涵蓋的現(xiàn)代數(shù)學(xué)信息比較少，習(xí)題和案例涉及的其他專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域太少。第三，教學(xué)觀念一直是理論學(xué)習(xí)至上，輕視實(shí)踐應(yīng)用。教材以外的各種參考書(shū)和習(xí)題解析材料等無(wú)非是圍繞著教材中的某知識(shí)點(diǎn)、定理或公式來(lái)展開(kāi)分析和講解的，雖然部分教材中會(huì)有一系列的案例和應(yīng)用練習(xí)題，也都是進(jìn)行簡(jiǎn)易化、理想化而抽象出來(lái)的遠(yuǎn)離實(shí)際問(wèn)題而更貼近教材中某原理和定理的練習(xí)內(nèi)容。第四，數(shù)學(xué)中的近似值的求解（包括解析近似和數(shù)值近似）相對(duì)更貼近實(shí)際生活，然而教材中對(duì)這部分都有刪減和簡(jiǎn)化，作為了解內(nèi)容并列入非考試范圍。第五，教學(xué)方法單一，沒(méi)有將理論教學(xué)和上機(jī)操作相結(jié)合，數(shù)學(xué)中很多需要借助計(jì)算機(jī)和專(zhuān)門(mén)軟件進(jìn)行運(yùn)算和求解的部分內(nèi)容也只是在講臺(tái)上簡(jiǎn)述一下。第六，教學(xué)模式陳舊，還是傳統(tǒng)的講臺(tái)上灌輸知識(shí)，缺少師生之間的交流和啟發(fā)，而造成學(xué)生主動(dòng)思考和創(chuàng)新思維的能力得不到提升。

3、數(shù)學(xué)建模在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的作用

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模式和理念已經(jīng)不能滿足當(dāng)今社會(huì)極速發(fā)展對(duì)知識(shí)的需求。傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)于陳舊老套，遇到問(wèn)題就套用公式，套用方法，一點(diǎn)創(chuàng)新的意識(shí)都沒(méi)有而不是真正的去分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，尋找解決思路和方法。由此可見(jiàn)，傳統(tǒng)的教學(xué)根本無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維更不能提升實(shí)踐創(chuàng)新能力。而數(shù)學(xué)建模的過(guò)程就是提出合理的假設(shè)，簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題并抽象出一個(gè)理論上的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用數(shù)學(xué)邏輯思維，再通過(guò)計(jì)算機(jī)和軟件，將所得到的模型解來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程便會(huì)給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題最后解決問(wèn)題的創(chuàng)新實(shí)踐的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)建模還會(huì)給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)數(shù)學(xué)創(chuàng)新的良好平臺(tái)和濃厚氛圍，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要方式。下面主要從幾個(gè)方面展開(kāi)論述：

1）通過(guò)數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維

在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型之前，需要對(duì)實(shí)際的問(wèn)題進(jìn)行抽象，將具體的問(wèn)題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（如數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)表達(dá)等）去描述問(wèn)題中的各種關(guān)系。比如著名的 “哥尼斯堡七橋問(wèn)題”，面對(duì)復(fù)雜的七橋問(wèn)題，首先就是需要將問(wèn)題抽象成一個(gè)幾何問(wèn)題，將里面的陸地，橋抽象成數(shù)學(xué)中點(diǎn)和線等簡(jiǎn)單的幾何概念，從而進(jìn)一步抽象了脈絡(luò)的概念。對(duì)大部分學(xué)生，學(xué)會(huì)利用自身所掌握的原有的理論知識(shí)框架進(jìn)行問(wèn)題的抽象，對(duì)于抽象思維至和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)是非常有利的。

2）通過(guò)數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)發(fā)散思維

發(fā)散思維對(duì)于學(xué)生來(lái)講是非常重要的，學(xué)會(huì)觸類(lèi)旁通，在學(xué)習(xí)中往往達(dá)到事半功倍的效果。對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題可以構(gòu)建不同的模型，而同一個(gè)模型有可以應(yīng)用到不同的實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中。通過(guò)對(duì)事物多角度、多層次的分析，從而獲得多樣性的結(jié)果。

3）通過(guò)數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)想象能力

著名法國(guó)作家雨果曾有過(guò)對(duì)想象力的評(píng)價(jià)：想象就是深度。想象力能夠自我深化，能夠深入到實(shí)際的問(wèn)題當(dāng)中?？茖W(xué)到了最后階段，便遇上了想象。”。在學(xué)習(xí)知識(shí)過(guò)程中，只有對(duì)知識(shí)進(jìn)行分析研究，歸納和演繹，總結(jié)和應(yīng)用，遇上類(lèi)似的問(wèn)題的才會(huì)去進(jìn)行抽象、假設(shè)并構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型。

4）在數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)逆向思維

逆向思維主要在于個(gè)人思維的獨(dú)特和新穎，甚至打破常規(guī)思維，如常規(guī)的時(shí)空順序，把問(wèn)題的發(fā)生、發(fā)展順序顛倒，把原因、結(jié)果，顛倒，沿著相反的思路對(duì)具體的問(wèn)題展開(kāi)分析。而數(shù)學(xué)建模是打破常規(guī)，培養(yǎng)逆向思維，改變學(xué)習(xí)模式的突破口，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程可以充分的反映出模型構(gòu)建者的思維特征。因此培學(xué)生創(chuàng)新思維，一定要利用好數(shù)學(xué)建模這個(gè)平臺(tái)，努力引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新實(shí)踐活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]林文卿.基于科技競(jìng)賽的大學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)分析[ J].科技與管理，2010，12（2）：141-144.

[2]陳智勇. 學(xué)分制管理視角下的大學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)模式研究[ J].黑龍江高教研究，2010，（8）：140-142.

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簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的過(guò)程范文第5篇

1復(fù)雜形態(tài)建模方法比較

產(chǎn)品形態(tài)的建模與機(jī)械設(shè)計(jì)的建模相比,最大的區(qū)別是機(jī)械設(shè)計(jì)中零件形態(tài)以標(biāo)準(zhǔn)解析形態(tài)(如柱面、球面、錐面等)為主,而產(chǎn)品形態(tài)設(shè)計(jì)中復(fù)雜的自由曲面形態(tài)占據(jù)主要的地位。標(biāo)準(zhǔn)解析形態(tài)用許多設(shè)計(jì)軟件所具有的體素造型方法就能滿足要求,而復(fù)雜曲面的建模則是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題,首先復(fù)雜的曲面不可能用幾個(gè)基本的尺寸就確定下來(lái),也不能用幾個(gè)視圖的投影形態(tài)來(lái)確定;其次復(fù)雜曲面的建模需要使用大量的計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)知識(shí)和建模技巧。從目前的國(guó)內(nèi)外研究情況來(lái)看,各種高端軟件中都不同程度地提供了自由形態(tài)建模的造型工具,最為典型的方法有以下幾種:(1)面片建模。通過(guò)把曲面分解成大量的面片(平面或曲面)來(lái)表示自由復(fù)雜形態(tài),通過(guò)修改面片及其控制頂點(diǎn)的空間位置和控制矢量來(lái)改變形體的外觀。(2)網(wǎng)格建模。將所要建立的模型劃分為網(wǎng)格,在表面曲率變化越大的地方網(wǎng)格劃分就越細(xì),同時(shí)根據(jù)不同的要求改變網(wǎng)格密度。網(wǎng)格形體分為形體、網(wǎng)格表面、網(wǎng)線、網(wǎng)格點(diǎn),四個(gè)層次的子物體,用戶(hù)可根據(jù)需要在任一層次上進(jìn)行修改,從而改變整體的形狀。(3)樣條建模方法?？杉?xì)分為Bezier,B樣條和NURBS(Non-UniformRationalB-Spline,即非均勻有理B樣條)方法。其中NURBS方法是目前功能最強(qiáng)、造型能力最好,又最易于修改的自由曲面建模方法。在1991年國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織頒布的STEP標(biāo)準(zhǔn)中,NURBS被確定為工業(yè)產(chǎn)品造型設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)方法。目前的高級(jí)三維設(shè)計(jì)軟件中都不同程度地支持這種建模方法。NURBS曲線的數(shù)學(xué)方程為C(u)=∑ni=0Ni,p(u)ωiPi∑ni=0Ni,p(u)ωiaub式中:Pi是控制頂點(diǎn);ωi為相應(yīng)的權(quán)重;Ni,p(u)為定義在節(jié)點(diǎn)矢量u上的p階B樣條基函數(shù)。NURBS方法主要具有如下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn):①統(tǒng)一表示了標(biāo)準(zhǔn)解析形狀和自由形狀;②具有B樣條、Bezier的所有優(yōu)點(diǎn),如局部性、凸包性、變差減少性、仿射不變性等;③權(quán)重ωi的引入,在形狀控制方面有了更大的靈活性。

2工作平臺(tái)的選擇

進(jìn)行三維形態(tài)的設(shè)計(jì)的最佳硬件、軟件平面臺(tái)是使用工作站系統(tǒng)。工作站具備圖形設(shè)計(jì)必備的高速計(jì)算和高質(zhì)量畫(huà)質(zhì)的特點(diǎn),工作站上的軟件擁有最強(qiáng)大的復(fù)雜形態(tài)造型功能,并能輕易整合CAD、CAE、NC,是產(chǎn)品設(shè)計(jì)的理解工作平臺(tái)。典型的工作站設(shè)計(jì)系統(tǒng)配置為:SGI的OC-TANE工作站加MAYA及PRO-ENGCNEER軟件。要配置一套較為完善的工作站系統(tǒng),至少需要十幾萬(wàn)美元,這是一般的中小企業(yè)和研究機(jī)構(gòu)難以承受的。目前我國(guó)大量的CAD設(shè)計(jì)平臺(tái)還在微機(jī)上,并已有了大量的研究及應(yīng)用成果。微機(jī)具有投資小,靈活多變,便于升級(jí)的特點(diǎn),近年來(lái)的發(fā)展非常迅速,只要我們對(duì)市場(chǎng)有清楚的了解并且合理配置,是可用較少的投入取得較好的工作環(huán)境。現(xiàn)在如果選用雙CPU主板配以?xún)蓧KPⅢ500,512MB內(nèi)存,加上ELSAGloriaSynergy顯卡、17"SONY特麗瓏顯示器,投入不足2萬(wàn)元人民幣,即可獲得近似工作站級(jí)的性能。微機(jī)平臺(tái)的三維設(shè)計(jì)軟件要數(shù)3DSTUDIOMAX最為流行了,它是一個(gè)運(yùn)行于NT環(huán)境下的面向?qū)ο蟮亩嗑€程、可充分發(fā)揮對(duì)稱(chēng)多處理器和任意網(wǎng)絡(luò)渲染能力的強(qiáng)大軟件。3DSMAX中加入了NURBS模塊,且具備良好的開(kāi)放性,并在3.0版后可利用世界頂級(jí)渲染器——智能圖像公司的MentalRay進(jìn)行著色,使該軟件的綜合能力有了大大增強(qiáng)。但是3DSMAX也存在許多不足,對(duì)于產(chǎn)品設(shè)計(jì)而言,這些不足主要體現(xiàn)在:①軟件的建模精度不夠高;②其N(xiāo)URBS造型能力比其它優(yōu)秀軟件來(lái)說(shuō)還不夠強(qiáng)大;③在3DSMAX中用NURBS建模時(shí),軟件的運(yùn)行速度會(huì)下降許多,當(dāng)你要做更為復(fù)雜的產(chǎn)品模型時(shí),這種現(xiàn)象更為明顯。另一套完全基于NURBS的純?cè)煨蛙浖hinoceros(又稱(chēng)RHINO3D)是PC機(jī)上功能強(qiáng)勁的建模工具,其設(shè)計(jì)團(tuán)體是原來(lái)的AliasDesignStudio的程序設(shè)計(jì)師,其Be-ta測(cè)試版歷經(jīng)一年半的網(wǎng)上自由測(cè)試,是有史以來(lái)最嚴(yán)格的自由測(cè)試軟件。Rhinoceros的界面和使用方法與Auto-CAD極為相似,且對(duì)系統(tǒng)要求不高,最新的2.0版售價(jià)僅為799美元。該軟件建模功能強(qiáng)大,支持大量的數(shù)據(jù)文件格式(如:*.igs,*.dwg,*.dxf,*.stl,*.3ds,*.obj,*.wrl,*.rib等),與其它軟件交換數(shù)據(jù)非常方便,能方便地整合3DSTUDIOMAX的建模部分,非常適合于要求精度高且復(fù)雜的產(chǎn)品三維造型,因此可把之作為3DSMAX建模的一個(gè)有力補(bǔ)充。

3典型工作流程

基于以上的討論,我們提出了一個(gè)進(jìn)行工業(yè)產(chǎn)品復(fù)雜形態(tài)設(shè)計(jì)的典型工作流程:(1)首先在Rhinoceros中用其強(qiáng)大的NURBS造型工具對(duì)復(fù)雜的、主要的形態(tài)進(jìn)行設(shè)計(jì)。(2)將Rhinoceros中做好的的模型以IGES或3DS格式導(dǎo)入到3DSTUDIOMAX中。(3)利用3DSTUDIOMAX中體素、面片、網(wǎng)格等方法中進(jìn)行輔助形態(tài)的建模。(4)設(shè)定產(chǎn)品各部分的材質(zhì)、定義環(huán)境等真實(shí)感計(jì)算所需參數(shù)。(5)渲染效果并進(jìn)行真實(shí)感顯示。以下,我們以汽車(chē)車(chē)輪的設(shè)計(jì)為例,簡(jiǎn)述整個(gè)過(guò)程:圖2輪轂斷面曲線圖3輪轂內(nèi)部孔洞形狀曲線(1)首先在Rhinoceros中創(chuàng)建輪轂斷面曲線及內(nèi)部孔洞形狀曲線(如圖2、3);(2)創(chuàng)建輪轂的NURBS曲面;(3)將內(nèi)孔形狀投影到曲面上,并修剪曲面(如圖4);(4)利用Rhinoceros強(qiáng)大的曲面編輯工具制作內(nèi)孔過(guò)渡曲面、螺釘孔及倒角曲面(如圖5);圖6完整的車(chē)輪模型(5)將所得輪轂形狀以IGES格式輸入3DSMAX中;(6)在3DSMAX中制作車(chē)胎、螺釘、碟剎等輔助部件;圖7最終渲染效果(7)設(shè)定車(chē)輪各部份的材質(zhì)(如圖6)。在車(chē)輪轂部分使用了光線跟蹤材質(zhì),它能逼真地模擬金屬物體表面反射周?chē)h(huán)境的特性,產(chǎn)生很強(qiáng)的金屬感;在輪胎部份,使用輪胎防滑花紋作凸凹貼圖,模擬輪胎表面細(xì)膩的紋理;(8)渲染生成最終效果(可利用MENTALRAY如圖7所示)。