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非常規(guī)數(shù)學(xué)問題需要非常規(guī)的特殊解法,本文就最常用的圖解法、賦值法、抽屜原理及邏輯推理等四種方法,結(jié)合實際例子作一探討。

1圖解法

例1(柳卡問題)假設(shè)每天中午有一艘輪船由哈佛開往紐約,同時也有一艘輪船由紐約開往哈佛,航行時間都為七晝夜,且均沿同一航線航行。問今天中午從哈佛開出的一艘輪船將會遇到幾艘從紐約開來的同一公司的輪船?

這是十九世紀(jì)在一次世界科學(xué)會議期間,法國數(shù)學(xué)家柳卡向在場的數(shù)學(xué)家們提出的一個問題,它難倒了在場的所有數(shù)學(xué)家,連柳卡本人也沒有徹底解決。后來有一位數(shù)學(xué)家通過下面的圖解法,才使問題最終得到解決。

這種方法是:用兩條橫線分別表示紐約港和哈佛港,某天中午(記作第0天)從哈佛出發(fā)的輪船在第7天中午到達(dá)紐約,用從下到上的一條斜線表示。用從上到下的斜線依次表示每天中午由紐約開出的輪船經(jīng)7晝夜到達(dá)哈佛。顯然兩種斜線的交點總數(shù)就是相遇的輪船數(shù),共15艘。

值得注意的是,上述圖解法,不但給出這一問題的一種簡單、美妙、不用數(shù)字計算的非常規(guī)解法,更有意義的是它可作為一種模型,來解決這一類型的問題,請看下例:

例2某路電車,由A站開往B站,每5分鐘發(fā)一輛車,全程為20分鐘。有一人騎車從B站到A站,在他出發(fā)時恰有一輛電車進站,當(dāng)他到達(dá)A站時又恰有一輛電車出站,問:

(1)若騎車人在中途共遇到對面開來的10輛電車,則他出發(fā)后多少分鐘到達(dá)A站?

(2)如果騎車人由B站到A站共用50分鐘時間,則他一共遇到多少輛迎面開來的電車?

(3)若騎車人同某輛電車同時出發(fā)由A站返回B站,騎車人用40分鐘到達(dá)B站時也恰有一輛電車進站,問在中途有多少輛電車超過他?

解:仿柳卡問題圖解法,畫出下面的圖:

由圖可知:(1)騎車人從B站總共遇到12輛從對面開來的電車到達(dá)A站所用的時間,恰好等于A站開出7輛車的時間,即35分鐘。

(2)若騎車人一共用50分鐘走完全程(即由0到10的那條由下到上的斜線),可知一共遇到15輛電車。

(3)由上到下畫一條斜線(由0到8)即表示騎車人由A站出發(fā)40分鐘后到達(dá)B站,可見中途共有3輛電車超過他。

2賦值法

賦值法解題,是對本身與數(shù)量無關(guān)的問題巧妙地賦于某些特殊的數(shù)值(如±1、0與1等)將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問題,然后利用整除性、奇偶性或正負(fù)號等的討論,使問題得以解決。

例3在圓周上均勻地放4枚圍棋子,然后作如下操作:若原來相鄰的兩枚棋子是同色,就在其間放一枚黑子;若是異色,就在其間放一枚白子,然后將原來的4枚棋子取走,以上算一次操作。證明:不論原來4枚棋子的黑白顏色如何排列,最多只須作4次操作,就可使剩下的4枚棋子全是黑子。

解因為只有黑白兩色棋子,所以可以用1記黑子,-1記白子。又規(guī)定在同色兩子之間放黑子,正好符合1·1=1,(-1)(-1)=1;在異色兩子之間放白子,正好符合1·(-1)=(-1)·1=-1,因此,這樣賦值后就將原來的問題轉(zhuǎn)化為+1和-1的討論問題。

將圓周上的4枚棋子依次記為x1、x2、x3、x4(繼續(xù)數(shù)下去記x5=x1,x6=x2……)按上面的賦值方法可知:

x2i=1,xixi+1=1xi與xi+1同色-1xi與xi+1異色

這樣,判斷在xi與xi+1兩棋子之間該放黑子還是白子,就由xi·xi+1的乘積符號的正、負(fù)來確定;乘積為+1時放黑子,為-1時放白子。按此方法,將各次操作后的正、負(fù)號列成下表:(將圓周上的棋子排在直線上)