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高中數(shù)學導數(shù)的概念及意義范文第1篇

關鍵詞：導數(shù)與函數(shù)；交匯；命題

中圖分類號：G632.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）01-0166-02

數(shù)學是一門具有獨特魅力的學科。在高中數(shù)學里我們會學到很多有趣的數(shù)學符號以及復雜的函數(shù)，當然還有很多復雜的數(shù)學問題。高中數(shù)學主干知識包括函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、證體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計，這些主干知識足以支撐高中數(shù)學知識體系的主要內(nèi)容，構成了高考數(shù)學試卷的主體。在函數(shù)與導數(shù)這一重點模塊當中便有許多值得探究的問題，為了認清這一模塊，我們將從導數(shù)與函數(shù)的思想概念、地位以及它們在數(shù)學中的應用著手，仔細分析導數(shù)與函數(shù)間的關系，為此我們作了研究并從例子中分析導數(shù)與函數(shù)的融會以及它們的作用。本文主要分成兩部分，第一部分在參考了文獻的基礎上對導數(shù)與函數(shù)的概念及其關系做出了解答，并且詳細地闡釋了導數(shù)的思想及其在高中數(shù)學中的工具性地位。第二部分是論文的重點部分，在對導數(shù)與函數(shù)的運用中，通過導數(shù)解決單調(diào)性問題，通過導數(shù)求最值、證明不等式等展開對導數(shù)應用方面的詮釋，包括了通過歷年的高考例題來解析導數(shù)與函數(shù)在高考中的重大作用。

一、理解導數(shù)，掌握導數(shù)的思想和概念

1.高中數(shù)學中的導數(shù)概念。導數(shù)（導函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它是由平均變化率到瞬時變化率引出和定義的，導數(shù)的幾何意義是曲線的割線逼近曲線的切線，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。導數(shù)可以說是新課程改革與舊課程的一個區(qū)分點，也是新教材的一個亮點。因為導數(shù)的應用非常廣泛，它是連接高中數(shù)學與大學數(shù)學的紐帶，用它可以解決許多數(shù)學問題。目前，隨著新課程改革的不斷推進，對導數(shù)知識考查的能力要求也逐漸提高，而且對導數(shù)的考查已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析問題和解決問題時的有力工具。

2.高中數(shù)學中導數(shù)的思想及工具性地位。函數(shù)與導數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，在導數(shù)應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數(shù)學思想方法的應用，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程的目的。而導數(shù)已由解決問題的輔助工具上升為解決問題的必不可少的工具，在解決數(shù)學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及切線問題。

二、函數(shù)解題需要導數(shù)

1.函數(shù)中運用導數(shù)的思想。函數(shù)中運用導數(shù)的思想主要有四種：等階轉化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想和數(shù)形結合思想。等階轉化就是“把要解的題轉化為已經(jīng)解過的題”就是把未知解的題轉化到在已有知識范圍內(nèi)可解問題的一種重要思想方法。等階轉化在導數(shù)及其應用中主要用來解決有關恒成立、函數(shù)的單調(diào)性等問題。函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質去分析問題、轉化問題、解決問題。方程問題是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型（方程或不等式），然后通過解方程或不等式來使問題獲解。而函數(shù)與方程的思想在導數(shù)及其應用中主要用來解決生活中的優(yōu)化問題以及構造函數(shù)證明不等式問題。在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。它在導數(shù)及其應用中主要用來求解單調(diào)區(qū)間、參數(shù)問題、極值、最值及恒成立問題等。數(shù)形結合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其實質就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來。數(shù)形結合思想在導數(shù)及其應用中主要用來解決方程根的問題。因為函數(shù)是貫穿中學數(shù)學的一條主線，是數(shù)學高考考查的重點。而函數(shù)是中學數(shù)學研究導數(shù)的一個重要載體。通常遇到復雜函數(shù)的時候難以利用普通的手段進行求解，所以采用對函數(shù)求導的方式可以克服此類問題，從而達到從繁化簡的效果。

2.函數(shù)中導數(shù)的應用。高中數(shù)學中導數(shù)有很大的作用，主要表現(xiàn)在三個方面。①導數(shù)解決單調(diào)性問題，當函數(shù)表達形式比較復雜，并且用初等函數(shù)不能求解的時候，可以考慮使用導數(shù)求解的方法，通常可以求出函數(shù)的導數(shù)，然后再求解導數(shù)的不等式。函數(shù)f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞）且函數(shù)的導數(shù)是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成兩個分進行求解，一部分是-1≤a≤0時，f（x）0時，f（x）=0，則無論是導數(shù)還是函數(shù)，都會隨著x的變化而變化。根據(jù)x的取值變化可以化一個表來看函數(shù)和導數(shù)的變化范圍和區(qū)間，由此可見，當a在（-1，+∞）區(qū)間變化時，函數(shù)是單調(diào)遞減的，余下的部分是單調(diào)遞增。導數(shù)在解題時出現(xiàn)最多的就是分類討論的問題，解決此類問題，需要找到分類點和畫表，根據(jù)表格x值得走向來判斷函數(shù)是遞增還是遞減。②導數(shù)求解函數(shù)的最值問題，函數(shù)最值的問題也是?？嫉念}型之一，對于閉區(qū)間的可導函數(shù)求其最值可以先求極值，根據(jù)極值與函數(shù)進行比較，確定最大值與最小值。函數(shù)f（x）=-x3+9x+a，閉區(qū)間[-2，2]，最大值為20，給出函數(shù)式子求最值。這種問題一般都會有兩個問題：第一個問題，會對函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間進行探討，然后給定一個閉區(qū)間求最值，最值包括最大值和最小值。第二個問題，閉區(qū)間會給你固定值，并且還會有最大的取值，從計算的過程中看，可以將閉區(qū)間兩端的值代入導函數(shù)中，求出一個公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根據(jù)第一問討論的單調(diào)遞增與遞減區(qū)間的確定，確定其大小值，求解a的值。③導數(shù)證明不等式問題，導數(shù)證明不等式的問題，最關鍵的步驟要構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，來證明不等式。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，最關鍵需要構造一個函數(shù)，利用相應區(qū)間上證明不等式的知識來判斷其單調(diào)性。根據(jù)以上的分析，可以解決數(shù)學的問題，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，過程比較簡單，能夠加強導數(shù)的教學任務，可以提供一個清晰的思想，一個新的解題方法。

三、從高考命題來解析導數(shù)

1.導數(shù)在高考上的運用趨勢。近幾年來利用導數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、向量、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查學生應用數(shù)學知識解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點。因此，在命題上導數(shù)充分突顯出其“工具性”的作用，在處理各類交匯性問題上，在處理曲線的切線、函數(shù)的最值（極值）及單調(diào)性、參數(shù)的范圍、實際生活中的優(yōu)化等問題方面，導數(shù)發(fā)揮著重大作用，所以導數(shù)是高考解答題命題的熱點內(nèi)容。例1：（重慶·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸.（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）的極值。解：（1）對f（x）求導，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，所以該切線的斜率為0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），則f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-

1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定義域，舍去），當x∈（0，1）時，f'（x）

2.運用導數(shù)的解題技巧。①求導后導數(shù)的幾個固定形式：a.含分母的導數(shù)形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此類導數(shù)由含lnx的函數(shù)求導得到，所以定義域為（0，+∞），此時導數(shù)的正負與分母無關，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0時Δ與0的關系即可；b.含ex的導數(shù)形式，此類導數(shù)的正負與ex無關；c.含三角函數(shù)的導數(shù)形式，利用三角函數(shù)的有界性。②二次求導的使用：當遇到含ex的復雜形式函數(shù)時可以采用二次求導的方法，例如設函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2。若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍。一階求導f'（x）=ex-1-2ax，二階求導f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a與1的大小與二階導數(shù)與0的關系，而二階導數(shù)與0的關系決定一階導數(shù)的單調(diào)性，若一階導數(shù)單調(diào)則必有f'（x）≥f'（0）=0成立，從而獲得原函數(shù)的單調(diào)性。③恒成立的應用：恒成立是導數(shù)問題中永恒的話題，歸結為一句話就是恒成立即為求最大值與最小值問題，所以是導數(shù)應用的一個最重要的體現(xiàn)。在導數(shù)問題中，幾乎所有的最后一問都要涉及到這類恒成立問題。

四、結論

1.重視導數(shù)方面的學習，弄清導數(shù)的概念。

2.有必要強調(diào)導數(shù)的工具作用。

3.進一步加深對函數(shù)的理解和直觀認識。總之，導數(shù)引入中學數(shù)學教材后，使傳統(tǒng)中學教學內(nèi)容注入了新的生機與活力，如何更好地利用導數(shù)這一工具來重新認識原中學課程中的有關問題并為解題提供新的途徑和方法已經(jīng)成為當今中學數(shù)學教學要面對的嶄新課題。

隨著時代的發(fā)展，特別是適應課程改革和考試改革的需要，數(shù)學教學應“與時俱進”，重新審視基礎知識、基本技能和能力的內(nèi)涵導數(shù)作為新增內(nèi)容，在研究函數(shù)的性質中發(fā)揮了重要的作用。函數(shù)是高中數(shù)學的主線，因此導數(shù)與高中數(shù)學的融會關系將會更近一步。高中數(shù)學是高中課堂極為重要的一門功課，在高考中占據(jù)很大的分量。導數(shù)作為高中數(shù)學的重要知識，不僅蘊含著豐富的數(shù)學思想，也是一種簡捷而有效的解題工具，對于解決數(shù)學問題有極大的幫助，因此本文希望通過導數(shù)與函數(shù)間解題研究能夠幫助廣大同學更好地學數(shù)學。

參考文獻：

[1]王錦.導數(shù)在中學數(shù)學中的應用[J].學科建設，2012，（8）.

高中數(shù)學導數(shù)的概念及意義范文第2篇

關鍵詞：數(shù)學素養(yǎng)；數(shù)學史；變化率；導數(shù)

數(shù)學史在數(shù)學教育中有著重要的地位，它在幫助學生理解新知識、新概念，掌握新方法等方面，有著很大的作用，同時在培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)，感受數(shù)學精神，養(yǎng)成良好的習慣方面能起到很好的促進作用。本文通過導數(shù)概念的引入教學，從一個側面反映出數(shù)學史在高中數(shù)學教學中的地位及作用，以求拋磚引玉。

一、數(shù)學史在高中數(shù)學教學中具有突出的重要性與必要性

《課程標準》明確提出：“讓學生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，感受數(shù)學的內(nèi)涵與本質。”起初覺得執(zhí)行起來非常困難，也沒太大必要。隨著經(jīng)驗的積累，筆者的這種想法發(fā)生了改變。學習科學能給人以力量，讓人們受到鼓舞，獲得信念與勇氣，然而只是簡單而粗糙地“告訴”學生這些科學，顯然與新課程標準的精神不相符合。因此，讓學生經(jīng)歷這些理論的形成的過程不僅能讓學生獲得科學知識，更重要的是讓學生在學習過程中受到啟發(fā)，培養(yǎng)勤于思考，勇于創(chuàng)新的能力，不斷提高數(shù)學素養(yǎng)。

實踐中，筆者大膽引入了數(shù)學史的教學。下面是筆者對該節(jié)課的教學設計，節(jié)選了其中的教學過程部分。

二、導數(shù)概念的背景及產(chǎn)生過程

（一）教學設想

遵循“創(chuàng)設問題情景提出問題分析問題解決問題”的原則。

（1）通過具體實例分析，讓學生經(jīng)歷用變化率刻畫變化的快慢，從平均變化率到瞬時變化率的認識過程，進而給出導數(shù)概念和導數(shù)的幾何意義。

（2）通過導數(shù)概念的形成過程，理解生活中數(shù)學概念的基本發(fā)展過程，初步學會用極限的思想分析并解決問題。

（3）分析生活中的各種現(xiàn)象最后將其統(tǒng)一為數(shù)學中的導數(shù)概念過程，認識到數(shù)學與生活的聯(lián)系和數(shù)學在實用性方面的巨大力量，進而對數(shù)學中蘊涵的理性美產(chǎn)生發(fā)自內(nèi)心的欣賞情感。

（二）教學過程

平均變化率瞬時變化率導數(shù)。

1.平均變化率的再認識

通過教材中的實例分析，讓學生理解平均速度可以刻畫物體一段時間的運動快慢，并結合相應的圖像，體會圖像的“陡”“坡”與平均變化率的關系，最后抽象概括出平均變化率的一般數(shù)學概念：

y f（x1）-f（x0） f（x0+x）-f（x0）

x   x1-x0            x   ，

其中 x=x1-x0

2.瞬時變化率的認識

一方面，讓大家理解瞬時速度的產(chǎn)生過程，另一方面，讓大家理解切線斜率的產(chǎn)生過程，而這兩方面正是牛頓與萊布尼茲的研究過程。

問題1：前面我們已經(jīng)明白平均速度可以刻畫物體一段時間內(nèi)的運動快慢，那么在一點處的速度如何刻畫呢？我選擇了一個較為簡單的例子：

若一物體運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系為：s=t2，試估計t=5s這個時刻的瞬時速度。

學生經(jīng)過一段時間的思考與分組討論后，我介紹了相應的數(shù)學史：

因為瞬時的速度很難測量，直到牛頓的發(fā)現(xiàn)，這一難題才得到解決。大家想不想知道牛頓是怎樣思考的呢？

能否用平均速度近似代替瞬時速度？如果可以，以怎樣一個平均速度代替較好的呢？我選擇了5～10s的平均速度，―=―=15m/s，此時的誤差難以避免，但是能不能減少誤差呢？剛才我選擇的區(qū)間較大，能不能縮小些呢？大家在我的引導下，選擇5～6s的平均速度，―=―=11m/s，誤差縮小了，能不能再減少誤差呢？大家發(fā)現(xiàn)隨著區(qū)間的不斷縮小，所得平均速度分別為10.1，10.01,10.001,10.0001，……越來越接近一個確定的常數(shù)10，到底5s處的瞬時速度為多少？很多同學說，近似為10m/s，大約是10m/s。我又問大家什么是大約10m/s，10.1叫大約，10.01也叫大約，10.001還叫大約，可見這種說法還不夠科學準確。我告訴大家，如果當初牛頓只停留在無休止的運算當中，就永遠也得不到偉大的結果，而只是停留在無休止的量變過程中。其實要完成從量變到質變的飛躍，只需跨出那小小的一步，我們共同想想：如何跨出那小小的一步，完成由量的改變到質的飛躍？那么在5s處的瞬時速度到底是多少呢？“10m/s，不多不少剛剛好?！贝蠹逸^為整齊地回答?？雌饋泶蠹液孟衩靼琢艘恍?，但還是有疑惑，我就鼓勵大家：人類經(jīng)歷這一過程花去了幾百年的時間，而現(xiàn)在讓大家用十幾分鐘的時間來理解確實很困難，隨著時間的推移，大家的知識不斷積累，會慢慢明白這一道理的，而后來恩格斯評價這一飛躍時稱：“這是人類精神上的最高勝利。”

問題2：如圖，P（xo，yo）是f（x）=x2+1圖象上一點，那么如何求該圖象在P（xo，yo）處的切線的斜率呢？

在x0過程中，割線AB的變化情況你能描述一下嗎？請在函數(shù)圖象中畫出來。

引導學生觀察：類比數(shù)、形的變化：

x0， B（x0+x，f（x0+x））A（x0，f（x0）），

當x0，割線AB有一個無限趨近的確定位置（演示動畫），這個確定位置上的直線叫曲線在x=x0處的切線，請把它畫出來。

x0，割線AB切線AD，則割線AB的斜率切線AD的斜率

有了前面的基礎，大家理解起來簡單容易得多，但同時也發(fā)現(xiàn)兩個過程中具有相似之處，就是用無限逼近的思想，完成了由量變到質變的過程。

問題3：運用上面的方法求瞬時速度和切線斜率顯然太過復雜，能否簡化解題步驟呢？這樣的問題是為了下節(jié)課導數(shù)的運算法則提供知識和思維的準備。

最后我讓大家談談本節(jié)課的體會和收獲，很多同學都談到了收獲知識的同時，感受到科學發(fā)現(xiàn)不僅需要勤奮不懈，更需要巨大的膽識與異于常人的勇氣。

三、課后評價與反思

本節(jié)課在整個教學設計過程中始終圍繞一個主題――探究前人偉大發(fā)現(xiàn)的足跡，再現(xiàn)當年歷史。在教學過程中，讓同學們感受到數(shù)學歷史的發(fā)展，以及蘊涵在數(shù)學中深刻而豐富的哲學思想。通過這節(jié)課的學習，給學生以鼓舞與信心，促使他們達到端正學習態(tài)度的目的。

數(shù)學史在教學中的應用在高中階段可以說無處不在，除了導數(shù)與積分外，像指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、數(shù)列、簡單線性規(guī)劃等，都與數(shù)學史息息相關。在平時的教學教研活動中，教師如果能進一步探討數(shù)學史與課堂的有效結合，必將促進學生學習數(shù)學知識的同時，使其受到良好的數(shù)學文化的熏陶。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

高中數(shù)學導數(shù)的概念及意義范文第3篇

關鍵詞 知識 技能 方法

近年來，數(shù)學復習資料名目繁多，許多教師過于依賴各類資料，在復習中忽視了書本中的基礎知識。這中做法實際上相當于在復習中失去了基石，現(xiàn)談談本人的一些看法。

一、重視基礎知識、基本技能、基本方法

課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)，也是智能的生長點，是最有價值的資料，有相當多的高考試題是課本中基本題目的直接引用或稍作變形得來的，其用意就是引導我們要重視基礎，切實抓好”三基”(基礎知識、基本技能、基本方法)。最基礎的知識是最有用的知識，最基本的方法是最有用的方法。在復習過程中，我們必須重視課本，夯實基礎，以課本為主，重新全面地梳理知識，方法，注重知識結構的重組與概括，揭示其內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，從中提煉出思想方法。在知識的深化過程中，切忌孤立對待知識，方法，而應自覺地將其前后聯(lián)系，縱橫比較、綜合，自覺地將新知識及時納入已有的知識系統(tǒng)中去，注意通用通法，淡化特殊技巧。

近年來高考數(shù)學試題的新穎性，靈活性越來越強，不少學生把主要精力放在難度較大的綜合題上，認為只有通過解決難題才能培養(yǎng)能力，因而忽視了基礎知識、基本技能、基本方法的復習。其實近幾年的高考命題已經(jīng)明確告訴我們：基礎知識、基本技能、基本方法始終是高考數(shù)學考查的重點。選擇題、填空題以及解答題中的基本常規(guī)題已達到整份試卷的80%左右，對基礎知識的要求也更高、更嚴了。如果我們在復習中過于粗疏，或在學習中對基礎知識不求甚解，都會導致在考試中判斷錯誤。其實定理、公式推證的過程就蘊涵著重要的解題方法和規(guī)律，如果沒有發(fā)掘其內(nèi)在的規(guī)律就去做題，試圖通過大量地做題去“悟”出某些道理，只會事倍功半。

二、抓剛務本，落實教材

數(shù)學復習任務重，時間緊，但決不能因此而脫離教材。相反，要緊扣大綱，抓住教材，在總體上把握教材，明確每一章、每一節(jié)的知識在整體中的地位、作用。

近年來的試題都與教材有著密切的聯(lián)系，有的是直接利用教材中的例題、習題、公式定理的證明作為高考題；有的是將教材中的題目略加修改、變形后作為高考題；還有的是將教材中的題目合理拼湊、組合作為高考題。因此，一定要高度重視教材，針對教材所要求的內(nèi)容和方法，把主要的精力放在教材的落實上，切忌刻意追求偏題、怪題和技巧過強的難題。

學生對基礎知識和基本技能的理解與掌握是數(shù)學教學的基本要求，也是評價學生學習的基本內(nèi)容。高中數(shù)學中的基礎知識、基本技能主要包括②，基本的數(shù)學概念、數(shù)學結論的本質，概念、結論等產(chǎn)生的背景、應用，以及其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，和它們在后續(xù)學習中的作用。同時，還包括數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的一些基本過程。

高中數(shù)學考試的內(nèi)容選取，要注重對數(shù)學本質的理解和思想方法的把握，避免片面強調(diào)機械記憶、模仿以及復雜技巧。尤其要把握如下幾個要點：

1、關于學生對數(shù)學概念、定理、法則的真正理解。尤其是，對數(shù)學的理解，至少包括能否獨立舉出一定數(shù)量的用于說明問題的正例和反例。

2、關于不同知識之間的聯(lián)系和知識結構體系。即高中數(shù)學考試應關注學生能否建立不同知識之間的聯(lián)系，把握數(shù)學知識的結構、體系。

3、對數(shù)學基本技能的考試，應關注學生能否在理解方法的基礎上，針對問題特點進行合理選擇，進而熟練運用。同時，注意數(shù)學語言具有精確、簡約、形式化等特點，適當檢測學生能否恰當?shù)剡\用數(shù)學語言及自然語言進行表達與交流。

三、加強通性通法的總結和運用

在復習中應淡化特殊技巧的訓練，重視數(shù)學思想和方法的作用。常用的數(shù)學思想方法有：

1、函數(shù)思想。中學數(shù)學，特別是中學代數(shù)，可謂是以函數(shù)為中心（綱）。集合的學習，求函數(shù)的定義域和值域打下了基礎；映射的引入，使函數(shù)的核心----對應法則更顯現(xiàn)其本質；單調(diào)性、奇偶性、周期性的研究，是對映射更深入更細致的刻畫；函數(shù)與反函數(shù)的研究，辨證全面地看待事物之間的制約關系。數(shù)列可以看成是特殊的函數(shù)。解方程f(x)=0，就是求函數(shù)y=f(x)的零點；解不等式f(x)>0或f(x)

2、數(shù)形結合思想。所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內(nèi)容有關：（1）實數(shù)與樹軸上的點的對應關系；（2）函數(shù)與圖象的對應關系；（3）曲線與方程的對應關系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義。

數(shù)形結合的重點是“以形助數(shù)”。運用數(shù)形結合思想，不僅易直觀發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理。大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)勢，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取做到“胸中有圖，見數(shù)想圖”，以開拓自己的思維視野。

3、分類討論思想。所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的答案。實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學策略。 轉貼于

分類原則：分類的對象確定，標準統(tǒng)一，不重復，不遺漏，分層次，不越級討論。

分類方法：明確討論對象的全體，確定分類標準，正確進行分類；逐類進行討論，獲取階段性成果；歸納小結，綜合得出結論。

4、轉化思想。將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法變換，化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉化的思想?；瘹w與轉化的思想的實質是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉化。

熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎；豐富的聯(lián)想、機敏的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉化的橋梁；培養(yǎng)訓練自己自覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質聯(lián)系。“抓基礎，重轉化”是學好中學數(shù)學的金鑰匙。

四、幫助學生打好基礎，發(fā)展能力

教師應幫助學生理解和掌握數(shù)學基礎知識、基本技能，發(fā)展能力。具體來說：

1、夯實基礎、加強概念教學：歷年高考都有40%左右分值比重的試題綜合性較弱、難度較低、貼近教材，解答過程較為直觀且命題方式相對穩(wěn)定，用以考查學生基礎知識的掌握情況。有40%左右分值比重的試題綜合性較強，命題較為靈活，難度相對較高，用以考查學生的基本能力。知識是基礎，能力的提高和知識的豐富是相互伴隨的過程，要意識到基礎知識的重要性，常規(guī)教學中一味求難求變的作法是不可取的，抓住基礎知識是全面提高教學質量和高考成績的關鍵。數(shù)學科學建立在一系列概念的基礎之上，數(shù)學教學由概念開始，概念教學是基礎的基礎。數(shù)學具有高度抽象的特點，概念的形成是教學工作的難點。知識的發(fā)生發(fā)現(xiàn)過程是概念的形成過程，挖掘并精化知識的發(fā)生發(fā)現(xiàn)過程，直觀展現(xiàn)知識的發(fā)生背景和前人的思維過程，是概念教學的關鍵。數(shù)學學習要理解諸多的概念及概念間的關系，概念教學貫穿于數(shù)學教學工作的始終。探討概念間的關系，展示概念間的聯(lián)系，把諸多概念有機地串接起來，有利于加深學生對概念的理解，有利于“辯證、普遍聯(lián)系”的認識觀念的形成，有利于探尋、解決問題能力的提高和數(shù)學思想方法的形成。

2、強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握。教學中應強調(diào)對基本概念的理解和掌握，對一些核心概念要貫穿高中數(shù)學教學的始終，幫助學生逐步加深理解。由于數(shù)學高度抽象的特點，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈。在教學中要引導學生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質。

3、重視基本技能的訓練。熟練掌握一些基本技能，對學好數(shù)學是非常重要的。在高中數(shù)學課程中，要重視運算、作圖、推理、處理數(shù)據(jù)以及科學計算器的使用等基本技能訓練。但應注意避免過于繁雜和技巧性過強的訓練。

隨著時代和數(shù)學的發(fā)展，高中數(shù)學的基礎知識和基本技能也在發(fā)生變化。一些新的知識就需要添加進來，原有的一些基礎知識也要用新的理念來組織教學。因此，教師要用新的觀點審視基礎知識和基本技能，并幫助學生理解和掌握數(shù)學基本知識、基本技能和基本思想。對一些核心概念和基本思想（如函數(shù)、空間觀念、數(shù)形結合、向量、導數(shù)、統(tǒng)計、隨機觀念、算法等）要在整個高中數(shù)學的教學中螺旋上升，讓學生多次接觸，不斷加深認識和理解。在教學中要引導學生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈。在新課程中，數(shù)學技能的內(nèi)涵也在發(fā)生變化，在教學中要重視運算、作圖、推理、數(shù)據(jù)處理、科學計算器和計算機的使用等基本技能訓練，但應注意避免過于繁雜和技巧性過強的訓練。

參考文獻

1.2009高考總復習全線突破（數(shù)學文科版）山東省地圖出版社，2008.3

2.2008年江蘇省高考說明（數(shù)學科）

高中數(shù)學導數(shù)的概念及意義范文第4篇

【關鍵詞】多媒體體；優(yōu)化；教學；提高質量

數(shù)學知識的傳授、學生能力的培養(yǎng)主要是通過課堂教學來實現(xiàn)的，因此課堂授課的優(yōu)劣直接影響到教學目標的實施和教學質量的提高。在數(shù)學教學過程中存在著大量的抽象性的概念和嚴密的推理。由于我們長期采用傳統(tǒng)的教學手段，影響了教學質量的進一步提高。因此，多媒體的應用，可以優(yōu)化課堂教學，大幅度地提高教學質量。多媒體在數(shù)學教學中的應用，展示了它前所未有的魅力，可創(chuàng)設數(shù)學情境，利用圖文并茂的表現(xiàn)方式，生動地描述各種復雜抽象的數(shù)學對象關系，并配“色彩鮮艷的動畫演示，形象逼真地模擬各種軌跡的形成過程。解決了學生對抽象數(shù)學知識形成發(fā)展過程感性認識的不足、不能深入理解數(shù)學思想方法等問題，從而起到優(yōu)化課堂教學的作用，提高了課堂教學質量。下面，筆者談一下如何應用多媒體，優(yōu)化課堂教學。

一、應用多媒體體，優(yōu)化開局，為提高教掌質量打好基礎

通常說良好的開端，等于成功的一半。作為課堂教學來說也是如此。只有一開始就緊緊抓住學生，調(diào)動積極性，為課堂教學創(chuàng)設良好的情境，才能保證教學目標的實施。那么怎樣運用多媒體來優(yōu)化開局呢？

（一）應用多媒體設置懸念，激發(fā)學生的求知欲。心理學研究表明，“學生的學習興趣是構成學習動機的一個重要方面”。多媒體全面加強了學生的感性認識，使學生感到新奇而有趣，能夠迅速使學生進人學習狀態(tài)。比如，在講定積分的概念之前，可制作一個課件．配以輕音樂，借助動畫給出三角形、圓、梯形的圖形及面積公式，進一步出現(xiàn)曲邊梯形的圖形后啟發(fā)學生“曲邊梯形的面積怎樣求呢？”從而引入定積分的概念，有效地激發(fā)了學生的求知欲。為新課創(chuàng)設奠定良好基礎。

（二）應用多媒體縮短了“復習引入”的時間，使新舊課過渡自然，學習新課在學生最佳時刻呈現(xiàn)。數(shù)學課教學的基本程序為“復習引入——新授內(nèi)容——鞏固新課小結——布置作業(yè)”。作為復習引入，一方面起到鞏同前面所學知識的作用，另一方面通過復習可以找出新舊知識的銜接點，起到承上啟下的作用，因此這一步是必不可少的。而復習常常是給出一定數(shù)量的問題，通過對學生的提問來實施的。若是復習題不足，難以保證復習的效果；若是多一點往往義超過預定的復習時間，結果新課學習開始于學生精神亢奮期之后，注意力開始分散之時，這直接影響到新課的學習質量。運用多媒體可以增大復習容量，鞏同已學知識，向新課過渡自然天成。

二、應用多媒體，優(yōu)化教學結構，增大教學窖量，是提高課堂教學質量舶保證

興趣是最好的老師，應用多媒體優(yōu)化教學結構的目的就是讓學生對學習數(shù)學有興趣。而增大教學容量是提高質量的保證。

（一）應用多媒體教學，使數(shù)學由乏味到有趣，讓學生變被動聽為主動學。應用多媒體教學，數(shù)學課就會富有吸引力，巧妙的課件設計，使教學變得生動有趣、直觀易懂。改變傳統(tǒng)乏味的教學模式，調(diào)動學生的學習積極性，可以取得意想不到的效果。比如，在學習函數(shù)連續(xù)性這一節(jié)，課件可以采用漸進的方式給出函連續(xù)的圖象和兩類間斷點的圖象，通過演示討論總結規(guī)律，教學效果會更好。同時借助課件增大例題容量，鞏固新知，學生興趣會很高，能達到事半功倍的效果。

（二）應用多媒體教學，可以使教學節(jié)奏張弛有度，改變學生因節(jié)奏平緩造成的思維沉悶狀態(tài)。上課之初的復習階段應用投影、錄像是快節(jié)奏的，而在新課學習階段，采用板書、投影等多媒體，加之教師有意識的放緩語調(diào)，使學生在一種平和的心境中接受新知識。當進入新課學習時，又可借助投影，增多題型，加快教學節(jié)奏，不斷創(chuàng)設良好的教學情境，便可牢牢抓住學生的注意力，使他們輕松愉快、興趣昂然地投人到數(shù)學學習中去。

（三）應用多媒體教學可以及時反饋教學信息，實現(xiàn)師生互贏。應用多媒體教學能夠使學生的練習情況及出現(xiàn)的問題及時得到反饋和評講，使學生的錯誤認識得以糾正，同時還能使學生新穎的解題思路得到展示推廣，也有利于教師改進教學。

三、應用多媒體優(yōu)化教學手段，突破重點、難點，掃掃除學習障礙

數(shù)學具有高度的抽象性，難以學習是學生公認的。究其主要原因是數(shù)與形的分離．抽象思維失去形的依托。我國著名數(shù)學家華羅庚曾指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微?！痹撁越沂玖藬?shù)與形相依相存不可分割的關系，有些重點、難點一味地利用講述是很難理解的。運用現(xiàn)代化的教學手段——多媒體教學就能達到數(shù)形結合、化難為易、掃除學習障礙的目的。例如，導數(shù)的幾何意義的理解是難點。運用多媒體制成動畫課件，讓過一定點的割線，在x0枷時繞定點轉動的極限位置就是過定點的切線，定點的導數(shù)就是該切線的斜率。這就實現(xiàn)r數(shù)形結合、化難為易、直觀易懂。

四、應用多媒體優(yōu)化計算，提高掌生應用計算機處理數(shù)學問題的能力

高中數(shù)學中有許多問題需要解決，在應用時，有時需求極限、積分等，只靠人丁計算是難以完成的。為提高學生解決數(shù)學問題的能力．運用多媒體、優(yōu)化計算是十分重要的，可以提高學生對有關數(shù)學問題的感性認識，還可以加深其對數(shù)學概念及方法的理解。

總之，多媒體是我們進行數(shù)學教學的重要輔助工具，能夠幫助我們優(yōu)化課堂教學，提高教學質量。

【參考文獻】

[1]吳曼妮.利用多媒體優(yōu)化數(shù)學課堂教學[J].教育藝術，2003，（6）.

高中數(shù)學導數(shù)的概念及意義范文第5篇

關鍵詞：高考數(shù)學；試題導向；高考備考；主干知識

現(xiàn)在高考備考，很多師生認為數(shù)學成績不好是題目做少了，依然是題海大戰(zhàn)，試卷滿天飛，盲目、重復的訓練，以致師生苦不堪言。高考過后，師生反映一年的復習效果甚微，做的多是無用功，這確實令人痛心。尋找高效的復習方法，減少無用功，提高效率，是一線教師復習備考值得思考的問題。

高考題是命題專家的嘔心瀝血之作，對來年高考具有一定的導向和示范作用，教學中以高考題為例，讓學生了解高考題，對他們高考成績的提高有很大的作用。研究近幾年特別是上一年的高考題，探尋高考命題趨勢，是有效、針對復習的前提。研的內(nèi)容、深度、廣度，對師生的備考效率、效果產(chǎn)生巨大的影響，所以對教師來說，首先應該將高考題研究清楚，尋找正確的試題導向。

導向性的好題就是以考綱為綱，以課本為源，題目靈活新穎，不難不怪，考查基礎知識的同時，注重考查能力。從高考試題的內(nèi)容來看，基礎知識和基本方法、思想不會有大的改變，改變的只是題目的背景，試題呈現(xiàn)的方式，著重考查能力，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng)。下面我們從六個方面研究試題，體會高考導向，以利提高復習效率。

一、緊扣課程標準，突出基礎

突出基礎，緊扣“標準”，既是命題的核心，也是教學的核心。這樣的試題也最能體現(xiàn)考查學生的數(shù)學素養(yǎng)。

例1 若正實數(shù)x， y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）

A [245] B [285] C 5 D 6

本題是2012年高考數(shù)學浙江卷文科一道選擇題，答案為C，雖然是小題，但內(nèi)涵豐富，入手較寬，解法靈活?？忌梢詮膬蓚€方面入手解答本題，一方面從已知條件入手。思路1：消元，使目標變?yōu)橐辉瘮?shù)。由x+3y=5xy得y=[x5x-3] ，又x>0，y>0，故x>[35]，3x+4y=3x+[4x5x-3] 。設f（x）= 3x+[4x5x-3]（ x>[35]）， （也可以消去x保留y）到此學生很容易會用導數(shù)法或基本不等式法求解易得答案。思路2：變成和為定值。因為x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5（x>0，y>0 ）。基本不等式法就會想到，3x+4y=[15]（[3x]+[1y]）（3x+4y）= [15]（[3xy+12yx+13]），因為[xy]>0，所以3x+4y[≥] [15（3×2][xy?4yx] +13）=5。當且僅當 [xy=4yx]且[3x]+[1y]=5，即當x=1，y=[12]時等號成立。另一方面，從所求目標入手。設3x+4y=t，（ x>0，y>0，t>0 ）?？梢哉w代換法求解，因為x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5，又3x+4y=t.兩式相加得t+5=3x+4y+[3x]+[1y]=3（x+[1x]）+（4y+[1y]）[≥]3[×2]+2[×2]=10，所以t[≥5]，當且僅當x=1，y=[12]時等號成立。（當然也可以相乘解答）

此題有多種解法，可以從多方面考查學生的基礎知識和基本技能是值得研究的一道好題。對此類題目分析研究不僅使學生掌握基礎知識，還可以增強學生的發(fā)散思維能力，達到舉一反三、觸類旁通的目的。

二、突出主干知識

高中數(shù)學課程中，主干知識仍然是數(shù)列，三角、統(tǒng)計與概率、立體幾何、解析幾何和函數(shù)、導數(shù)、不等式；高考試題與教材聯(lián)系緊密，注重基礎，突出主干，強調(diào)思維，反復強調(diào)“函數(shù)”、“運算”、“圖形”、“算法”等等思想。它們的作用不能等同于知識點，不能等同于技能，也不能等同于一般的思想方法，他們始終貫穿高中數(shù)學課程，構成高中數(shù)學的基本脈絡。高考試題強化考查考生對主干知識的認識和理解，他們反映了數(shù)學中更為豐富的東西，最終影響了學生將來的學習和工作。近幾年安徽自主命題風格基本保持不變，下面以主干知識之一數(shù)列考查為例來看近幾年安徽高考題。

① 2011年安徽理科第18題：在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作T[n]，再令a[n]=lg T[n]， n[≥1].

（Ⅰ）求數(shù)列{ a[n]}的通項公式；

（Ⅱ）設b[n]=tana[n][?]tana[n+1]，求數(shù)列{ b[n]}的前n項和S[n].

本題考查等比數(shù)列通項公式以及數(shù)列與三角函數(shù)的綜合 。

② 2012年安徽理科第21題：數(shù)列{x[n]}滿足x[1]=0，x[n+1]=-x[2n]+x[n]+c（n[∈]N[*]） .

（Ⅰ）證明：{x[n]}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c

（Ⅱ）求c的取值范圍，使{x[n]}是遞增數(shù)列.

考查數(shù)列概念及其性質，不等式及其性質，充要條件的意義，數(shù)列與函數(shù)的關系等基礎知識，著重考查綜合運用知識分析問題的能力，推理論證和運算求解的能力，推理能力不是數(shù)列遞推，這一點值得注意。

③ 2013年安徽理科20題：設函數(shù)f[n]（x）=-1+x+[x222]+[x332]+…+[xnn2]（x[∈]R， n[∈]N[*]），證明：（Ⅰ）對每個n[∈]N[*]，存在唯一的x[n][∈][[23]，1] ，滿足f[n]（x[n]）=0；

（Ⅱ）對任意p[∈]N[*]，由（Ⅰ）中x[n]構成的數(shù)列{ x[n]}滿足0

考查導數(shù)及應用，函數(shù)零點的判定，等比數(shù)列求和以及用放縮法證明不等式，同時考查推理論證和運算求解的能力，屬于難題。

④ 2014年安徽理科21題：設實數(shù)c>0，整數(shù)p>1，n[∈]N[*].

（Ⅰ）證明：當x>-1且x[≠]0時，（1+x）[p]>1+px；

（Ⅱ）數(shù)列{a[n]}滿足a[1]>c[1p]，a[n+1]=[p-1p] a[n]+[cp] a[n][1-p] .

證明：a[n]> a[n+1]> c[1p] .

本題第（Ⅰ）問，來源于課本選修2-2數(shù)學歸納法一節(jié)的例題，是大學數(shù)學中最常見的貝努力不等式，用數(shù)學歸納法簡單證明。體現(xiàn)試題入口寬、面向全體考生的特點。第（Ⅱ）問，對考生的推理、證明能力，運算求解能力，分析解決問題的能力要求很高，絕大多數(shù)考生感到束手無策，但是此題并沒有超綱。本題對于引導學生回歸課本，改變死做題的學習方式，倡導理性思維、強化探究能力的數(shù)學教學與學習同樣有很好的導向作用。同時與2012年安徽數(shù)學高考21題的解題思路基本一致，具有高等數(shù)學背景，是銜接初等數(shù)學和高等數(shù)學的一個極好題目，感知這種變化，在復習時加以重視。

三、突出幾何直觀

[?] 課程標準[?] 要求注重圖形語言，多畫一些幾何圖形，給我們帶來的不僅是邏輯嚴密更是直觀。在選擇題中，圖像問題常用到函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、極值、特殊點處的函數(shù)值等。好的高考題通常都蘊含著豐富的幾何背景。

例2 （2012年高考數(shù)學重慶卷理科第10題）設平面點集A={（x， y）潁y-x）（y-[1x]）[≥]0}，B={（x， y）潁x-1）[2]+（y-1）[2][≤]1}，則A[?]B所表示的平面圖形面積為（ ）.

A [3π4] B [3π5] C [4π7] D [π2]

題中有考生熟悉的三個圖形，圓（x-1）[2]+（y-1）[2]=1與y=[1x]均關于y=x對稱，圖中有美，美不勝收，題目把三個如此優(yōu)美的曲線放在一起，讓人喜歡上數(shù)學的圖形美。即使不畫出圖形，按美學原理，從對稱出發(fā)，只看選項就能選出正確答案D，這樣的試題，能激起學生對數(shù)學學習的熱愛。三個幾何圖形在課本中經(jīng)常看到，體現(xiàn)高考源于課本，高于課本的命題思路。這樣的考查對于教與學中重視基本幾何圖形的掌握有好的引導作用，要求我們對基本初等函數(shù)的圖像和性質熟練掌握。

四、能正確體現(xiàn)基礎與本質的關系

基礎知識的概念與本質是兩個不同的概念。做習題是為了更好地把握概念、定義、定理及性質的本質，若是只做題而不去思考把握問題本質，只會浪費復習時間，增加學習負擔，若能重視對問題背后的數(shù)學本質的追溯，無疑能有效提高教與學的效率，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識與數(shù)學能力。

例3 設[α]為銳角，若cos （[α] +[π6]）=[45]，則sin （2[α] +[π12]）的值為

這是江蘇2012年高考理科第11題，很多教師認為這道題考查的是三角恒等變角技巧，并且強調(diào)角的變換是最重要的三角恒等變換之一。要注意將已知角與所求角，特殊角與一般角之間建立聯(lián)系，然后選擇恰當?shù)娜枪?，是解答此題的關鍵。由于技巧性太強對學生來說有一定的難度。這些看似強調(diào)基礎知識和基本技能，但不是三角函數(shù)的本質。本題可以深入思考找到解題思路，由cos（[α]+[π6]）=[45]說明[α]+[π6]也是已知的，當然求值時要把目標角2[α] +[π12]轉化為已知角，即2（[α]+[π6]）+[π12]-[π3]=2（[α]+[π6]）-[π4]。這樣化未知角為兩個已知角的思考，就抓住了問題的本質，三角函數(shù)是以角為自變量的特殊函數(shù)，是函數(shù)值與自變量之間的對應關系，而不是變角技巧。由此出發(fā)才能化未知為已知，找到解決問題最基本的思維方法。

五、重視閱讀能力，處理新信息能力的考查

學生進入高校或者社會，能否繼續(xù)發(fā)展，很大程度上取決于他們的學習能力，特別是閱讀理解能力則是繼續(xù)學習的前提。數(shù)學是一種語言，由于其高度抽象，符號眾多，成了學生進入高校繼續(xù)學習數(shù)學的障礙。近年高考對閱讀能力的考查加大了力度，考點集中在符號語言，圖形語言、文字語言、圖表語言上。

例4 （ 2014年安徽高考理科數(shù)學15題）已知兩個不相等的非零向量a， b，兩組向量x[1]，x[2]，x[3]，x[4]，x[5]和y[1]，y[2]，y[3]，y[4]， y[5]均由2個a和3個b排列而成。記S= x[1][?] y[1]+ x[2][?] y[2]+ x[3][?] y[3]+ x[4][?] y[4]+x[5][?] y[5]，S[min]表示S所有取值中的最小值。則下列命題正確的是_（寫出所有正確命題的編號）。

①S有5個不同的值；

②若a b ，則S[min]與OaO無關 ；

③若a∥b ，則S[min]與Ob O無關；

④若Ob O>4OaO，則S[min]>0；

⑤若Ob O=2Oa O，S[min]=8OaO[2] ，則a 與b 的夾角為[π4]。

此題是填空題的壓軸題，要求學生對每個問題都能正確做出判斷，一錯則錯，并且此題更是復合型題與信息題兩者的完美結合，試題新穎且有創(chuàng)造性，對數(shù)學知識、數(shù)學方法的考查全面、深入。信息題它可以有效考查學生即時閱讀、理解信息的能力，以及抽象概括信息與運用信息的能力；同時本題對數(shù)學思想方法的考查也很深入，主要考查分類討論的數(shù)學思想方法和函數(shù)方程思想，屬于難題。對于①討論a ，b 有0、2、4組對應數(shù)量積，得到S最多有三個不同的值，①錯；因為a ，b 是不等向量，所以S[1]-S[3]=2（a - b）[2]0， S[1]-S[2]=（ a - b）[2]0 ， S[2]- S[3]=（a - b）[2]0， 所以S[3]S[2]S[1]，故S[min]= S[3]= b [2]+4 a[?]b ，對于②，當ab 時，S[min]= b [2]，與OaO無關，②正確；對于③顯然S[min]與ObO有關，③錯誤；對于④設a ，b 的夾角為[θ]，則S[min]= b [2]+4 a[?]b16OaO[2]+16OaOcos[θ]=16OaO[2]（1+ cos[θ]）≥0，故S[min]0， ④正確；對于⑤，ObO=2OaO，S[min]=8OaO[2]，所以cos[θ]=[12]，又[θ][∈][0，[π]]，所以[θ=π3]，⑤錯誤。

安徽省近幾年的15題都是復合型填空題，閱讀能力的考查要求很高，所以教學中要多多強調(diào)。本題是向量運算綜合問題，主要考查向量的數(shù)量積運算、夾角公式、不等式性質。安徽高考在向量這個地方一直想創(chuàng)新，本題是個很新穎別致的問題，為2015年的高考提供了一個范例。

六、強調(diào)應用意識，體現(xiàn)數(shù)學文化價值，引導學生積極主動的學習