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幾種常見分布函數(shù)及假設(shè)檢驗方法介紹

正態(tài)分布及其參數(shù)估計正態(tài)分布是生產(chǎn)研究中最常見、應(yīng)用最廣的概率分布之一，在數(shù)理統(tǒng)計中大多統(tǒng)計量只要樣本容量n充分大，且符合獨立、均勻小效應(yīng)特征都近似服從正態(tài)分布。

對數(shù)正態(tài)分布及其參數(shù)估計對數(shù)正態(tài)分布在工程、金融、地質(zhì)學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，一般適用在眾多相互獨立的因素中有某個或某些因素起了比較突出的作用,但尚未起到?jīng)Q定性影響的分布規(guī)律分析當(dāng)中。

Weibull分布及其參數(shù)估計Weibull分布常見于產(chǎn)品壽命和斷裂力學(xué)問題中，它在結(jié)構(gòu)可靠性理論、科學(xué)研究和工程分析中都占有重要地位。

假設(shè)檢驗對隨機變量概率分布函數(shù)擬合檢驗的常用方法有近似法或假設(shè)法、A-D檢驗法和K-S檢驗法。3種方法分別在樣本容量小于5，樣本容量在5～13之間和樣本容量大于12時使用。［11］通常所分析隨機變量的樣本容量都大于12，所以采用K-S檢驗法。

高溫凍土力學(xué)性質(zhì)

1強度及損傷統(tǒng)計本構(gòu)

從20世紀(jì)30年代開始，國內(nèi)外學(xué)者就對低溫凍土的強度和本構(gòu)關(guān)系展開了深入研究（在此不一一贅述），而對高溫凍土研究較少。賴遠明等［14］在溫度為-0.5～-6.0℃下對含水率為30%～80%（超飽和）的凍結(jié)砂土進行了三軸抗壓強度試驗，研究了凍結(jié)砂土強度同含水率、溫度的關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)可用Mises屈服準(zhǔn)則描述溫度高于或等于-2.0℃時砂土強度的屈服情況。馬小杰等［15］對不同溫度（-0.3℃、-0.6℃、-0.9℃、-1.5℃、-5.0℃）、不同含水率的凍結(jié)黏土進行單軸無側(cè)限抗壓強度試驗，發(fā)現(xiàn)高溫-高含冰量凍結(jié)黏土在單軸壓縮試驗過程中應(yīng)力-應(yīng)變曲線有應(yīng)變軟化型和應(yīng)變硬化型兩種類型，分析得到當(dāng)溫度低于-0.9℃時，高溫-高含冰量凍結(jié)黏土存在最不利含水率，該含水率狀態(tài)下凍土抗壓強度最?。划?dāng)溫度高于-0.6℃時，高含冰量凍土隨含水率的增加，單軸抗壓強度增大。經(jīng)典土力學(xué)將土體在宏觀上視為連續(xù)介質(zhì)，但是從微觀角度來看,凍土是多相多成分介質(zhì)，土體具有顯著的結(jié)構(gòu)性，凍土在應(yīng)力集中處會發(fā)生水分遷移和再分配、礦物位移和重組合，并過渡到宏觀裂紋的微觀裂縫的產(chǎn)生和發(fā)展，最終發(fā)生破壞。高溫凍土處于劇烈相變區(qū)，結(jié)構(gòu)缺陷更大，破壞時具有更強的不確定性。針對土體結(jié)構(gòu)性特點，可將剪切帶形成視為材料的結(jié)構(gòu)強度損傷在加載過程中是連續(xù)的。［16,17］曹文貴等［18］借鑒國外研究結(jié)果，加入圍壓影響因素，將連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計強度理論有機地結(jié)合起來，在國內(nèi)較早地提出了一種巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型,充分反映了巖石破裂的全過程,令國內(nèi)損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型的研究取得了一定程度的突破。賴遠明、李雙洋等［19,20］將統(tǒng)計本構(gòu)思路方法應(yīng)用到高溫凍土，利用3個不同溫度下足量的單軸試驗數(shù)據(jù)對高溫凍土的彈性模量及強度概率分布進行對比統(tǒng)計分析，給出了不同可靠度下的凍土強度，然后又結(jié)合連續(xù)損傷理論和概率與數(shù)理統(tǒng)計提出了高溫凍土的單軸隨機損傷本構(gòu)模型。高溫凍土損傷不僅受自身缺陷影響，還受圍壓的影響。李清澤等［13］用大量三軸強度試驗結(jié)果確定出了高溫凍土強度分布概型,基于Drucker-Prager準(zhǔn)則建立了高溫凍土的三軸損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型，并將3個不同圍壓下的強度實驗值同理論值進行了對比分析，發(fā)現(xiàn)提出的本構(gòu)模型可以較好地擬合凍土三軸強度應(yīng)力-應(yīng)變曲線。他們的研究結(jié)果都表明正態(tài)及對數(shù)正態(tài)分布能較好地反映高溫凍土強度方程參數(shù)概率分布規(guī)律，而威布爾分布能更好地描述強度分布規(guī)律。以上研究工作說明概率統(tǒng)計方法已經(jīng)在高溫凍土強度和本構(gòu)關(guān)系中有了初步應(yīng)用，并且得到了一些有借鑒性的研究結(jié)果。

2蠕變及長期強度

凍土力學(xué)中另一個重要課題就是依據(jù)實驗數(shù)據(jù)建立凍土蠕變模型，預(yù)報凍土的長期變形和長期強度。［21］蠕變指的是在恒定荷載下變形隨時間發(fā)展的過程。凍土蠕變過程可分為3個階段：非穩(wěn)定蠕變階段、穩(wěn)定蠕變階段和漸進蠕變階段。第3個階段的出現(xiàn)和強度極限值有關(guān)，發(fā)展具有不確定性。通過人工凍土蠕變試驗，可以研究凍土蠕變的規(guī)律，建立蠕變方程和長期強度方程，并預(yù)報凍土長期強度值。目前凍土的本構(gòu)關(guān)系多集中在蠕變研究，以經(jīng)驗公式法為主。［22］馬小杰等［23］對含水率為40%、80%、120%的高溫-高含冰量凍結(jié)黏土分別在-0.3℃、-0.5℃、-1.0℃溫度下進行了單軸壓縮蠕變試驗，求出了高溫-高含冰量凍結(jié)黏土單軸壓縮蠕變方程和長期強度方程的參數(shù)，試驗表明高溫-高含冰量凍結(jié)黏土單軸壓縮蠕變過程具有衰減特征，在相同的溫度條件下，同時刻凍土長期強度含水率40%時最大，含水率120%時次之，含水率80%時最小。劉世偉等［24］在青藏高原北麓河盆地多年凍土區(qū)用承臺靜載試驗方法對高溫-高含冰量多年凍土長期蠕變變形進行試驗研究，研究發(fā)現(xiàn)溫度變化是影響多年凍土蠕變變形的決定性因素，隨著溫度的升高，蠕變速率增大，反之減小，但現(xiàn)場蠕變變形和實驗室得到的理論相符合度并不高，并指出多年凍土長期蠕變變形的發(fā)展對寒區(qū)工程結(jié)構(gòu)的長期穩(wěn)定性具有重大影響。長期強度是凍土受長期荷載達到的破壞應(yīng)力臨界值，它是寒區(qū)工程建設(shè)中地基和基礎(chǔ)設(shè)計的基本依據(jù)，研究凍土長期強度工程意義巨大。［25］蠕變強度隨時間發(fā)展而呈衰減趨勢，擬合蠕變強度值和破壞時間關(guān)系曲線可得到凍土長期強度方程。其中，破壞瞬時是凍土從穩(wěn)定蠕變過渡至漸進流動的時間，也就是說蠕變速率達到最小值的那一點。［26］可將破壞標(biāo)準(zhǔn)定為如下幾種情況：對于非衰減型蠕變，破壞瞬時應(yīng)和凍土從穩(wěn)定蠕變過度至漸進流動部位相一致，當(dāng)蠕變曲線出現(xiàn)拐點，即曲線二階導(dǎo)數(shù)為零處，強度達到臨界值；若短期內(nèi)不出現(xiàn)拐點，可取應(yīng)變值15%的時刻為破壞瞬時。而對衰減型蠕變凍土往往不會出現(xiàn)拐點，可用蠕變方程來預(yù)報凍土破壞的時間，同樣取應(yīng)變達到15%時刻為破壞瞬時。凍土的變形過程和強度降低現(xiàn)象是由于損傷積累造成凍土破壞的結(jié)果，由于高溫凍土表現(xiàn)出更明顯的流變特性，溫度、應(yīng)力等因素都會影響土體結(jié)構(gòu)，破壞瞬時存在著一定的隨機性。目前研究結(jié)果只對高溫凍土長期蠕變變形和長期強度進行了定性分析或者只通過少量的試驗數(shù)據(jù)來確定試驗參數(shù)，而且預(yù)報超過試驗期的長期強度方法，都是凍土長期強度方程的外推數(shù)據(jù)，存在著較大的不確定性。于是我們需要將概率統(tǒng)計方法引入到高溫凍土的流變特性研究，以分析蠕變模型、長期強度方程參數(shù)分布規(guī)律，并確定出有一定可靠度的長期強度。［21］但由于高溫凍土三軸蠕變試驗時間較長，所需樣本較大，很難進行足夠數(shù)量試驗得到統(tǒng)計所要求的樣本數(shù)目。考慮到每個樣品在相同條件下進行蠕變試驗是相互獨立事件，互不影響，而且理論上都服從同一種分布規(guī)律，所以可以考慮用組合方法擴大樣本容量。在同一條件下對高溫凍土進行n組蠕變試驗，每組分別在m個荷載下進行加載，一組蠕變試驗可得到m條蠕變曲線，用該組的一條曲線替換其他組相同荷載下的曲線，則可得到n組，將每組m條蠕變曲線依次同其他組曲線進行組合，可得nm組蠕變試驗曲線簇。擬合曲線簇后可得到nm組蠕變方程參數(shù)，由加載強度值和蠕變破壞時間則可以繪出nm條長期強度曲線，從而求出nm個高溫凍土的長期強度預(yù)測值。這樣，就可以消耗較少的資源卻可以分析出高溫凍土蠕變模型、長期強度方程參數(shù)分布規(guī)律，并能給出具有一定可靠度的高溫凍土長期強度值，為工程設(shè)計提供參考依據(jù)。

結(jié)論

（1）高溫凍土力學(xué)性質(zhì)極易受溫度等外界環(huán)境的影響而發(fā)生巨大變化，具有較強不確定性和離散性。利用概率統(tǒng)計分析方法可對高溫凍土力學(xué)參數(shù)的分布規(guī)律進行統(tǒng)計分析，并能給出具有一定可靠度的強度值，其在寒區(qū)工程中的廣泛應(yīng)用對優(yōu)化工程設(shè)計，提高工程安全性具有重要意義。但到目前為止，國內(nèi)外很多學(xué)者雖然對高溫凍土力學(xué)性質(zhì)進行了大量研究，但仍未能將損傷理論、概率統(tǒng)計理論、熱力學(xué)理論等應(yīng)用到凍土力學(xué)中提出全面而又準(zhǔn)確的高溫凍土本構(gòu)方程、蠕變方程和長期強度方程來滿足工程設(shè)計的要求。（2）由于高溫凍土強度試驗所需時間較短，可以獲得大量數(shù)據(jù)來分析凍土本構(gòu)方程參數(shù)和強度分布規(guī)律；而蠕變試驗所需時間較長，在有限時間內(nèi)很難獲取足量樣本對高溫凍土蠕變特性和長期強度進行統(tǒng)計分析。文章提出一種方法，采用組合方法擴大樣本容量，消耗較少時間便可以預(yù)測出具有一定可靠度的高溫凍土長期強度。

作者：吳曉光單位：蘭州大學(xué)土木工程及力學(xué)學(xué)院